2020年中考数学一轮复习之二次函数动点问题
（面积、长度最值与定长）
1．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴分别交于A（﹣3，0），B两点，与y轴交于点C，抛物线的顶点E（﹣1，4），对称轴交x轴于点F．
（1）请直接写出这条抛物线和直线AE、直线AC的解析式； （2）连接AC、AE、CE，判断△ACE的形状，并说明理由；
（3）如图2，点D是抛物线上一动点，它的横坐标为m，且﹣3＜m＜﹣1，过点D作
DK⊥x轴于点K，DK分别交线段AE、AC于点G、H．在点D的运动过程中，
①DG、GH、HK这三条线段能否相等？若相等，请求出点D的坐标；若不相等，请说明理由；
②在①的条件下，判断CG与AE的数量关系，并直接写出结论． 解：（1）抛物线的表达式为：y＝a（x+1）2+4＝a（x2+2x+1）+4， 故a+4＝3，解得：a＝﹣1，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣2x+3； 将点A、E的坐标代入一次函数表达式并解得： 直线AE的表达式为：y＝2x+6；
同理可得：直线AC的表达式为：y＝x+3；
（2）点A、C、E的坐标分别为：（﹣3，0）、（0，3）、（﹣1，4）， 则AC2＝18，CE2＝2，AE2＝20，
故AC2+CE2＝AE2，则△ACE为直角三角形；
（3）①设点D、G、H的坐标分别为：（x，﹣x2﹣2x+3）、（x，2x+6）、（x，x+3），
DG＝﹣x2﹣2x+3﹣2x﹣6＝﹣x2﹣4x﹣3；HK＝x+3；GH＝2x+6﹣x﹣3＝x+3；
当DG＝HK时，﹣x2﹣4x﹣3＝x+3，解得：x＝﹣2或﹣3（舍去﹣3），故x＝﹣2， 当x＝﹣2时，DG＝HK＝GH＝1，
故DG、GH、HK这三条线段相等时，点D的坐标为：（﹣2，3）； ②CG＝
＝
；AE＝
＝2
，
故AE＝2CG．
2．如图，直线l：y＝﹣3x+3与x轴、y轴分别相交于A、B两点，抛物线y＝ax2﹣2ax+a+4（a＜0）经过点B．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）已知点M是抛物线上的一个动点，并且点M在第一象限内，连接AM、BM，设点M的横坐标为m，△ABM的面积为S，求S与m的函数表达式，并求出S的最大值； （3）在（2）的条件下，当S取得最大值时，动点M相应的位置记为点M′．写出点M′的坐标．
解：（1）直线l：y＝﹣3x+3与x轴、y轴分别相交于A、B两点，则点A、B的坐标分别为：（1，0）、（0，3），
抛物线y＝ax2﹣2ax+a+4（a＜0）经过点B（0，3），则a+4＝3，解得：a＝﹣1， 故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3；
（2）过点M作MH⊥x轴于点H，
设点M（m，﹣m2+2m+3），
则S＝S梯形BOHM﹣S△OAB﹣S△AMH＝（﹣m2+2m+3+3）×m﹣ [3×1+（m﹣1）（﹣
m2+2m+3）]＝﹣m2+m，
∵
0，故S有最大值，
；
当m＝时，S的最大值为：
（3）当S取得最大值时，此时，m＝， 则y＝﹣m2+2m+3＝， 故点M′的坐标为：（，）．
3．已知抛物线y＝ax2+bx﹣4经过点M（﹣4，6）和点N（2，﹣6）． （1）试确定该抛物线的函数表达式；
（2）若该抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C ①试判断△ABC的形状，并说明理由；
②在该抛物线的对称轴上是否存在点P，使PM+PC的值最小？若存在，求出它的最小值；若不存在，请说明理由．
2020年中考数学一轮复习之二次函数动点问题(面积、长度最值与定长)(解析版)
