<<第七章机械振动和机械波>>教案
一.机械振动: 1定义:物体(物体的一部分)在某一位置附近沿直线或圆孤线的往复运动.如:单摆、弹簧振子
Ⅰ.主要特点:往复性、周期性、对称性 Ⅱ.产生条件:①每当物体离开平衡位置时必须受到回复力作用②阻力要足够小 Ⅲ平衡位置:是指回复力F向=0或回复加速度aτ=0的位置.物体在该位置所受的合外力不一定为零。（如单摆摆到最低点时，沿振动方向的合力为零，但在指向悬点方向上的合力却不等于零）. “平衡位置”不等于“平衡状态”。
Ⅳ:描述振动的物理量:①振幅A:表示振动物离开平衡位置的最大距离.为标量.反映振动强弱和能量的物理量. 在简谐运动的振动过程中，振幅是不变的,而位移是时刻在改变的.单位:m ∴振动物体完成全振动所走的路程: S= 4A?N = 4A?t/T ②周期T: 物体完成一次全振动所需的时间.单位:S.周期由振动系统本身的因素决定，也叫固有周期。任何自由振动(固有振动)都有共同的固有周期公式:T?2?m/k由某系统本身的性质和结构特点所决定.（其中m是振动物体的质量，k是回复力系
数，即:简谐运动的判定式:F= -kx中的比例系数，对于弹簧振子:k就是弹簧的劲度，对单摆:k=mg/L）.全振动:指振动的物体先后两次运动状态(位移和速度)完全相同所经历的整个运动过程.③频率?:振动物体在单位时间内完成全振动的次数,单位:Hz,．．．．．．．．．．．．．．．公式: T=1/f,?=1/T。T 、f都是反映物体振动快慢的物理量. ④相(相位,位相,周相)Φ:用来描述振动变调x=Acos(ωt+Φ) 2.重要的物理量间的关系:即：做简谐运动的物体在某一时刻（或某一位置）的位移x、回复力F、加速度a、速度v这四个矢量的相互关系: ①振动中的“位移”x都是以平衡位置为起点的，方向从平衡位置指向末位置，大小为这两位置间的直线距离。加速度与回复力、位移的变化一致,在两个“端点”最大，在平衡位置为零，方向总是指向平衡位置.即:F∝x，方向相反。 ②.加速度a的变化与回复力F的变化相同,在两“端点”最大,在平衡位置为零.方向总是指向平衡位置.即:由牛二知：F∝a，方向相同。a∝x，方向相反.在平衡位置：速度最大、动能最大、动量最大；位移最小、回复力最小、加速度最小。在离开平衡位置最远时：速度最小、动能最小、动量最小；位移最大、回复力最大、加速度最大。
③v和x、F、a之间的关系最复杂：速度的大小v与加速度a的变化恰好相反.在两“端点”为零,在平衡位置最大.除了两“端点”外任一位置的速度方向都有两种可能:即:当v、a同向（即 v、 F同向，也就是v、x反向）时v一定增大；当v、a反向（即 v、 F反向，也就是v、x同向）时，v一定减小。
练习: 1．关于简谐运动，下列说法中正确的是:
A．回复力的方向总是指向平衡位置的，物体的振动一定是简谐运动 B．加速度和速度的方向总跟位移的方向相反 C.当物体做简谐运动,速度的方向有时与位移方向相同,有时与位移方向相反 D.物体做简谐运动,加速度最大时,速度也最大 2.弹簧振子沿直线做简谐运动，当振子连续两次经过平衡位置时，振子的
A．加速度相同，动能相同 B．动能相同，动量相同 C．加速度相同，速度相同 D．动量相同，速度相同 3.某质点做简谐运动，从质点经过某—位置开始计时，则
A．当质点再经过此位置时，经过的时间为一个周期 B．当质点的速度再次与零时刻的速度相同时，经过的时间为一个周期 C．当质点的加速度与零时刻的加速度相同时，经过的时间为一个周期 D．以上三种说法都不对
4.一个弹簧振子的振动周期是0.025s，当振子从平衡位置开始向右运动，经过0.18s时，振子的运动情况是
A．正在向右做减速运动 B．正在向右做加速运动 C．正在向左做减速运动 D．正在向左做加速运动 5.弹簧振子在光滑水平面上做简谐运动，在振子向平衡位置运动的过程中
A.振子所受的回复力逐渐增大 B.振子的位移逐渐增大 C.振子的速度逐渐减小D.振子的加速度逐渐减小 6．质点做简谐运动，从平衡位置开始计时，经过0.5s在位移正向最大处发现该质点，则此简谐运动的周期可能是
A．2s B．2/3s C．0.5s D．0.25s
7.(01年广东)一单摆做简谐振动，对摆球所经过的任何一点来说，相继两次通过该点时，摆球的 A．速度必相同 B．加速度必相同 C．动量必相同 D．动能必相同
8.(2001年全国)细长轻绳下端拴一小球构成单摆，在悬挂点正下方L/2摆长处有一个能挡住摆线的钉子
A，如图．现将单摆向左拉开一个小角度，然后无初速地释放．对于以后的运动，下列说法中正确的是
A．摆球往返运动一次的周期比无钉子时的单摆周期小B．摆球在左、右两侧上升的最大高度一样 C．摆球在平衡位置左右两侧走过的最大弧长相等D．摆线在平衡位置右侧的最大摆角是左侧的两倍 9.有一弹簧振子做简谐运动，则: A．加速度最大时，速度最大 B．速度最大时，位移最大 C．位移最大时，回复力最大 D．回复力最大时，加速度最大
10．如图，若质点在A对应的时刻，则其速度v、加速度a的大小的变化情况为
A．v变大，a变小 B．v变小，a变小 C．v变大，a变小 D．v变小，a变大 11．如下图所示的简谐运动图象中，在t1和t2时刻，运动质点相同的量为: A．加速度 B．位移 C．速度 D．回复力
14．某质点做简谐运动其图象如下图所示，质点在t=3.5s时，速度v、加速度α的方向应为 A．v为正，a为负 B．v为负，a为正 C．v、a都为正 D．v、a都为负 15．一弹簧振子做简谐运动．周期为T:
9
A．若t时刻和(t+△t)时刻振子运动速度的大小相等、方向相反,则Δt一定等于T/2的整数倍 D．若t时刻和（t+△t）时刻振子运动位移的大小相等、方向相同,则△t一定等于T的整数倍 C．若△t＝T／2，则在t时刻和（t－△t）时刻弹簧的长度一定相等 D．若△t＝T，则在t时刻和（t－△t）时刻振子运动的加速度一定相同
16.如图所示，弹簧振子在振动过程中，振子经a、b两点的速度相同，若它从a到b历时0.2s,从b再回到a的最短时间为0.4s,则该振子的振动频率为： A、1Hz; B、1.25Hz; C、2Hz; D、2.5Hz.
17.如图，一个做简谐运动的质点在平衡位置点附近振动，当质点从.O点向某一侧振动时，经3s第一次过P
点，再向前运动，又经2s第二次过P点，则该质点再经_______的时间第三次过 p点．
a
b
18.如图,质量为m的木块放在弹簧上，与弹簧一起在竖直方向上做简谐运动，当振幅为A时，物体对弹簧的最大压力是物体重量的1.5倍，则物体对弹簧的最小压力是多大？要使物体在振动中不离开弹簧，振幅不能超过多大？
19．如图，一个半径为R的光滑圆弧形轨道竖直放置，今有两个质点A、B，B从圆弧形轨道的圆心处自由落下(空气阻力不计)，A同时从非常逼近O点的位置P无初速释放，则A与B到达O点的时间之比为多少？
20.如图所示，在竖直平面内有一段光滑圆轨道MN，它所对的圆心角小于10，P点是MN的中点，也是圆弧的最低点。在N P之间的点Q和P之间搭一光滑斜面，将一小滑块（可视为质点）分别从Q点和M点由静止开始释放，设圆半径为R，则两次运动到P点所需的时间分别为__________、__________。
0
21.如图，在O点悬有一细绳，绳上串着一个小球B，并能顺着绳子滑下来.在O点正下方有一半径为R的光滑圆弧形轨道，圆心位置恰好在O点.在弧形轨道上接近O′处有另一小球A，令A、B两球同时开始无初速释放，假如A球第一次到达平衡位置时正好能够和B球碰上，则B球与绳之间的摩擦力与B球重力大小之比是_______（π≈10，g= 10 m/s）
22.如图为光滑的弧形槽的半径为R(R?MN),A为弧形槽的最低点.小球B放在A点的正上方离A点的高度为h,小球C放在M点,同时释放两球,使两球正好在A点相碰.求:⑴相遇时刻 ⑵h应为多大？
23如图，摆长为L的单摆，当摆球由A经平衡位置O向右运动的瞬间，另一小球B以速度v同时通过平衡位置向右运动，B与水平面无摩擦，与竖直墙壁碰撞无能量损失，问OC间距离x满足什么条件，才能使B返回时与A球相遇？
M N 2
2
24.如图,L、m已知（L为摆长,m为摆球的质量）最大摆角θ<5,当小球摆到最低点B并向左运动时,有一 质量为M,置于光滑水平面上的物体在一水平向右恒力作用下开始运动,要使两物体在某时刻的速度相等, 作用在物体上的恒力F=?
9
M 0
θ F
3.振动分类:①按振动特点分:一般振动,简谐运动 ②按振动形成原因:自由振动(因有振动)和受迫振动
受迫振动:物体在期性外力(策动力)的作用下的振动.受迫振动物体的频率等于策动力的频率与其本身的固有周期(固有频率)无关,当策动力周期等于振动体的固有周期时振幅最大--------共振:当驱动力的频率跟物体的固有频率相等时，受迫振动的振幅最大的现象.物体做受迫振动的振幅由驱动力频率和物体的固有频率共同决定：两者越接近，受迫振动的振幅越大，两者相差越大受迫振动的振幅越小。当策动力的频率与振动体的固有频率相同时则周期性外力始终对 振动体做正功,此时振动体的振幅,能到达物体在其他频率策动力作用下无法达到的最大振幅值的现象.
（1）利用共振的有：共振筛、转速计、微波炉、打夯机、跳板跳水、打秋千…… （2）防止共振的有：机床底座、航海、军队过桥、高层建筑、火车车厢……
③按振幅分:阻尼振动:是自由振动在无系统外力作用下的振动,由于介质阻力作用系统的能量越
来越小的振动.即:减幅振动. 无阻尼力振动:振动系统在振动过程中,既受阻力作用又有策动力作用,且阻力所消耗能量与策动力所补充的能量正好相等的振动.即:等幅振动. 对于一定的振动系统，振动的动能由振子的速度决定，振动的势能由振子的位移决定，振动的过程是动能和势能的相互转化过程。由于简谐运动是一种理想化的模型，在简谐运动过程中，振动的动能和势能之和保持不变，所以是等幅振动。实际上振动系统总是要受到阻尼作用，作的是阻尼振动 练习: 1.下列各种运动中，属于简谐运动的是:
A．拍皮球时球的往复运动 B．将轻弹簧上端固定，下端挂一砝码、砝码在竖直方向上来回运动 C.水平光滑平面上,一端固定的轻弹簧组成弹簧振子的往复运动D．孩子用力荡秋千，秋千来回运动 2.如图表示两个单摆m、M悬挂到一根钢丝上，摆长分别为l和L，原来它们都静止．今使m偏离平衡位置一个角度，释放后m做简谐运动的方向在垂直于纸面的竖直平面里，对M以后的运动情况，下述说法中正确的是 :A．M仍静止 B．M将做受迫振动，周期为C．M将做受迫振动，周期为2?Lg
Lg D．M能发生共振
3.如图表示一弹簧振子做受迫振动，振幅A跟驱动力频率f的关系图象，由此可知，弹簧振子的固有频率为________；当f＝f1时，振子振动频率为________；振幅A最大时，驱动力频率f＝________． 4把一个筛子用四根弹簧支起来，筛子上装一个电动偏心轮，它每转一周，给筛子一个驱动力，这就做
成了一个共振筛。不开电动机让这个筛子自由振动时，完成20次全振动用15s；在某电压下，电动偏心轮的转速是88r/min。已知增大电动偏心轮的电压可以使其转速提高，而增加筛子的总质量可以增大筛子的固有周期。为使共振筛的振幅增大，以下做法正确的是:A．降低输入电压 B．提高输入电压 C．增加筛子质量 D．减小筛子质量 5.一物体做受迫振动，驱动力的频率小于该物体的固有频率。当驱动力的频率逐渐增大时，该物体的振幅将： A．逐渐增大 B．先逐渐减小后逐渐增大 C．逐渐减小 D．先逐渐增大后逐渐减小 6.如图所示，在一根张紧的水平绳上，悬挂有 a、b、c、d、e五个单摆，让a摆略偏离平衡位置后无初速释放，在垂直纸面的平面内振动；接着其余各摆也开始振动。下列说法中正确的有：A．各摆的振动周期与a摆相同 B．各摆的振幅大小不同，c摆的振幅最大 C．各摆的振动周期不同，c摆的周期最长 D．各摆均做自由振动 7.一个弹簧振子在AB间作简谐运动，O是平衡位置，以某时刻作为计时零点（t=0）。经过1/4周期，振子具有正方向的最大加速度。那么以下几个振动图中哪一个正确地反映了振子的振动情况？
9.如图7所示为一单摆的共振曲线，则该单摆的摆长约为多少？共振时摆球的最大速度大小是多少？（g取10m/s）
10如图。曲轴上挂一个弹簧振子，转动摇把，曲轴可带动弹簧振子上下振动。开始时不转动摇把，让振子自由振动，测得其频率为2Hz.现匀速转动摇把，转速为240r/min。（1）当振子稳定振动时，它的振动周期是多大？（2）转速多大时，弹簧振子的振幅最大？
10.如图所示，一块涂有碳黑的玻璃板，质量为2千克，在拉力F的作用下由静止开始竖直向上作匀变 速运动，一个装有指针的振动频率为5 Hz 的电动音叉在玻璃板上画出如图所示的曲线， 量得OA=1 cm，OB=4 cm，OC=9 cm，则外力F的大小为多少牛？
9
2
8 4 o A/cm f/Hz 0.25 0.5 0.75
二简谐振动: 物体在跟偏离平衡位置的位移大小成正比，并且总指向平衡位置的回复力的作用下的振动.表达式为：F= -kx (1).回复力:物体做机械振动时,受到的总是指向中心(平衡)位置的力. 它是根据作用效果命名的，类似于向心力．是振动物体在沿振动方向上所受的合力。即:可以为弹力、重力、摩擦力.或其它某个力,或几个力的合力,或某个力的分力.
(2). 判据:F=-kx是判断一个振动是不是简谐运动的充分必要条件.凡是简谐运动则沿振动方向的合力必须满足该条件;反之,只要沿振动方向的合力满足该条件,那么该振动一定是简谐运动. ∴a???k?x???2x 圆频率:??mk2??mT ∴固有周期:T?2?mk m为简谐振动振子的质量
(3)．简谐振动的特点: ∵ aτ= -k x/m ∝ x ∝1/m ∴简谐振动是一种变加速运动
(4).简谐振动的能量特征:只有系统内弹力或重力做功, 做简谐振动的系统的动能和势能不断地相互转化且任意时刻机械总量保持不变,都等于最大位移处的势能或平衡位置处的动能.总能量E与T、?无关,由振幅A唯一决定.
动能: Ek=mv/2 Ekm=mvm/2 势能: Ep=kΔx/2 Epm=kA/2 机械能: E=Ek+Ep=kx/2+ mv/2=kA/2=mvm/2 对弹簧:E=kA/2=kx/2+mvt/2=mvm/2 对单摆:E=kA/2=mv/2+mgL(1-cosα)=mvm/2=mgL(1-cosα)
2
2
2
2
2
2
2
22222222
?121mg2?A?L2(1?cos?)?2Lsin?kA???A?mgL(1?cos?)
222L
(5)．物体做简谐运动吋，其位移、回复力、加速度、速度等矢量随时间做周期性变化，它们的变化周期就是简谐运动的周期T．物体的动能和势能也随时间周期性变化，其变化周期为T/2．
(6).简谐振动的一种研究方法——参考圆:如图3所示，一质量为m的质点在xy平面内以原点O为圆心做匀速圆周运动，该质点在x轴上的投影（P点）将以O为中心在x轴上振动，这个振动与圆周运动有什么关系呢？ 设圆半径为r，角速度为w，则质点受向心力大小为:F=mω2r. 设t=0时，半径跟x轴方向的夹角为，经时间t半径跟x轴方向夹角为Ф，则Ф=ωt+Ф0,在任意时刻t，质点在x轴上的位移为
∴x=rcos(ωt+Ф0). 向心力在x轴上的分量为: Fx= -mω2 rcos(ωt+Ф0) 由以上两式得
Fx=-mω2x 令k=m ω2，则 Fx=-Kx 结果表明，做匀速圆周运动的质点在x轴方向上的分运动满足简谐运动条件，所以x轴方向的分运动是简谐运动。 理论和实验都表明，在xy平面内做匀速圆周运动的质点在x轴上的分运动是简谐运动，我们在研究简谐运动时就可以借助于这个圆运动，为了研究简谐运动而引入的圆叫参考圆。参考圆是研究简谐运动的一种方便而有效的方法。
(7)．简谐运动的运动方程和图象:则经过时间t，矢端M在x轴上的投影点P的位移为x=Acos(ωt+Ф0) 该方程表示了质点做简谐运动的位移x随时间t的变化规律，称为简谐运动方程，式中的A表示振幅。 式中的ω在矢端M做匀速圆周运动中表示角速度，在简谐运动中表示质点在2π秒内完成全振动的次数，
称为圆频率。用T表示简谐运动的周期，f表示频率，则 式中相当于角度的
量(ωt+Ф0).在旋转矢量中表示OM与x轴的夹角，在简谐运动中叫周期角，也叫位相或相位。φ是t=0时的位相，称为初相。在简谐运动中位相是表征质点振动状态的物理量。质点的振动状态在一个周期内的变化，在位相上经历了0到2π的变化，振动在时间上每相隔一个周期或周期的整数倍，在
位相上相差2π或2π的整数倍。简谐运动的位移随时间的变化也可以用图象表示，图5中投影点P的振动用x-t图象表示如图6，它与方程反映的规律是一致的。
练习：1一个做简谐运动的质点，它的振幅是4 cm，频率为2.5 Hz，若从平衡位置开始计时，则经过2 s质点完成了________次全振动，质点偏离平衡位置的位移是________ m，通过的路程是________m．
2.如图甲，质量为m的一个小球系在轻 质弹簧上，平衡时静止在原点0，现向下按小球 (在弹性限度内)，使其在0点上下振动。则在图乙中，能正确描述小球所受合力随位移x 变化的关系(合力沿+x方向为正)的是： 3.一弹簧振子做简谐运动，则下列说法中正确的是： A.若位移为负值,则速度一定为正值,加速度也一定为正值 B.振子通过平衡位置时,速度为零,加速度最大
9
C.振子每次通过平衡位置时,加速度相同,速度也一定相同
D.振子每次通过同一位置时,其速度不一定相同,但加速度一定相同
1.作简谐振动的质点通过平衡位置时,具有最大值的物理量是: A.加速度 B.速度 C.位移 D动能 E.回复力 F.势能 2.质点做简谐振动,如果在某两个时刻速度大小相等,但方向相反,则质点在这两个时刻的:
A.位移一定相等 B.加速度不一定相等 C.位置一定在平衡位置两侧 D.离开平衡位置的距离相等 3.关于简谐振动的位移、速度、加速度的关系,下列说法正确的是: A.位移减小时,加速度减小速度增大 B.位移方向总跟加速度方向相反,跟速度方向相同 D.加速度增大则速度减小,加速度减小则速度增大 C.物体向平衡位置运动,速度与位移方向相反,远离平衡位置运动,速度与位移方向相同
4.作简谐振动的水平弹簧振子以下正确说法有: A.在半个周期内弹力做功为零 B.在半个周期内弹力冲量为零 C.经过半个周期,位移与原来相比一定大小相等,方向相反(设原来位移不为零) D.经过半个周期,加速度与原来相比,可能相等(设原来加速度不为零)
5.受迫振动是在周期性驱动力作用下的振动，关于它的驱动力与振动的关系，下列说法正确的是: A. 做受迫振动的物体达到稳定后，其振动的频率一定等于驱动力的频率 B. 做受迫振动的物体达到稳定后，周期一定等于驱动力的周期 C. 做受迫振动的物体达到稳定后，振幅与驱动力的周期无关 D.做受迫振动的物体达到稳定后，振幅与驱动力的大小无关 6.一颗人造卫星在离地面高度于地球半径的轨道上做圆周运动,卫星内有一单摆,它的振动周期与地面上同摆长的单摆的振动周期之比是: A.2:1 B.
2:1 C. 1: 2 D.以上答案都不对
CO D7.单摆做简谐振动,下列说法正确的是:A.摆球所受回复力是重力和摆线拉力的合力
B.摆球所受回复力是重力沿切线方向的分力,另一个沿摆线方向的分力小于或等于摆线对小球的拉力 C.摆球经平衡位置时,摆线所受拉力等于重力D.摆长相等的单摆振幅一定相等
8.如图,木块A在光滑水平面上做简谐振动,O为其平衡位置,C、D为振动中最大位移处,则下述说法中,正确的是:
A.木块A在振动中通过OD之间的任一位置P点时,其加速度与位移都是相同的 B.振动中通过OD之间任一位置P点时,其动能和动量都是相同的 C.当木块在C点时,有一个物体B由静止放在A上并与A粘在一起,则振动到右侧可以到D点 D.当木块在O点时,有一个物体B由静止放在A上并与A粘在一起,则振动到右侧可以到D点 9.单摆做简谐振动,下列说法正确的是: A.摆球所受回复力是重力和摆线拉力的合力
B.摆球所受回复力是重力沿切线方向的分力,另一个沿摆线方向的分力小于或等于摆线对小球的拉力 C.摆球经平衡位置时,摆线所受拉力等于重力 D.摆长相等的单摆振幅一定相等
10.如图为光滑的半圆轨道,B是轨道的最低点,小球m1在半圆形轨道的圆心O处,小球m2在轨道的A点,图中θ角很小,若让m1、m2同时从静止释放,那么:A.m1比m2后到达B点 B.m1比m2先到达B点C.m1、m2同时到达B点 D.谁的质量大谁先到达 11.（96年全国）如果表中给出的是作简谐运动的物体的位移x或速度v与时刻的对应关系，T是振动周期，则下列选项中正确的是: 时刻 状态 物理量 甲 乙 丙 丁 零 零 正向最大 负向最大 正向最大 负向最大 零 零 零 零 负向最大 正向最大 负向最大 正向最大 零 零 零 零 正向最大 负向最大 0 T/4 T/2 3T/4 T A、若甲表示位移x，则丙表示相应的速度v B、若丁表示位移x，则甲表示相应的速度v C、若丙表示位移x，则甲表示相应的速度v D、若乙表示位移x，则丙表示相应的速度v
12支持列车车厢的弹簧固有频率为2Hz，若列车行驶在每根长为12.5m的钢轨连成的铁道上，则当列车运行速度多大时，车厢振动的剧烈程度最大？
13.卡车在水平道路上行驶，货物随车厢底板上下振动而不脱离底板。设货物的振动为简谐运动，以向上的位移为正，其振动图象如图2所示，在图象中取a、b、c、d四点，则下列说法中正确的是: A.a点对应的时刻，货物对车厢底板的压力最小B.b点对应的时刻，货物对车厢底板的压力最大
C.c点对应的时刻，货物对车厢底板的压力最大D. d点对应的时刻，货物对车厢底板的压力等于货物重力
14已知心电图仪的出纸速度（纸带移动的速度）是2.5cm/s，如图2所示是用此仪器记录下的某人的心电图（图中每个方格的边长为0.5cm）（1）由图可知此人的心率为_____ 次／分，他的心脏每跳一次所需时间是_____s。（2）如果人的心脏每一次大约输送8×10m的血液，正常人血压（可看作心脏压送血液的压强）的平均值为1.5×10pa，若某人心跳每分钟70次，
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第七章机械振动和机械波
