考点14 基本不等式及其应用(1)-2020年高考数学二轮优化提升专题训练（解析版）

19bc－ac19bc－|b－c|c

＝

b2

c?2??c?????b?，－＋20??b???2

c

01.cc?c?2?c??c?

?b?＋18?b?≤19；当01时，－?b???????

19bc－|b－c|c?c?＋20?b?≤100，即的最大值为100，所以k≥100，即实数k的最小值

b2??

为100.

解法2(基本不等式) 因为ksin2B＋sinAsinC>19sinBsinC，所以由正弦定理可19bc－ac19bc－acc?a?c

19－??得kb＋ac>19bc，即k>b2.又b2＝bb?.因为c

2

a??a??2??

??1＋b?＋?19－b??

a??a??a???????ac?a

＋b，即b?19－b?

4b至??????aaa

少大于0)．当且仅当1＋b＝19－b，即b＝9时取等号．

题型三 运用双换元解决不等式问题

知识点拨：若题目中含是求两个分式的最值问题，对于这类问题最常用的方法就是双换元，分布运用两个分式的分母为两个参数，转化为这两个参数的不等关系。

例3、(2017苏州期末） 已知正数x，y满足x＋y＝1，则为________． 9

【答案】、4

411?41?解法1 令x＋2＝a，y＋1＝b，则a＋b＝4(a＞2，b＞1)，a＋b＝4(a＋b)?a＋b?＝

??4ba?11?98421

?5＋a＋b?≥(5＋4)＝，当且仅当a＝，b＝，即x＝，y＝时取等号． 4?43333?4

【变式1】、(2015苏锡常镇、宿迁一调）已知实数x，y满足x>y>0，且x＋y≤2，21则＋的最小值为________． x＋3yx－y

11

41

＋的最小值x＋2y＋1

3＋22

【答案】、4 ?x＋3y＝m，【解析】、设?

?x－y＝n.

m＋3n?x＝?4，解得?m－n

y＝??4.

m＋n

所以x＋y＝2≤2，即m＋n≤4.

设t＝

21212nm?21?＋＝m＋n，所以4t≥?m＋n?(m＋n)＝3＋m＋n≥3＋22.即

??x＋3yx－y

3＋222nm

t≥4，当且仅当m＝n，即m＝2n时取等号．

解后反思 本题所给条件为x，y的和的不等式，所求的为与x，y相关的倒数和最值问题，可以先对分母进行还原处理后，再结合“1”的代换技巧来处理，这里要说明的时候条件 “x＋y≤2”改为“x＋y＝2”答案不会变化．

【变式2】、(2015南京三模）已知x，y为正实数，则▲ ． 【答案】、

4 34xy

＋的最大值为 4x＋yx＋y

【解析】、思路分析1：由于所研究的代数式的分母比较复杂，故通过换元来进行简单，从而来研究此函数的最大值；

思路分析2：所研究的代数式涉及到两个变量x,y，为此将分式的分子、分母同除以y，将x,y合并为数的最值问题。

解析1：令a?4x?y,b?x?y?a,b?0?，从而得 ，故

x来达到“消元”的目的，这样就转化为只含一个变量的函y4xy4a?4b4b?a8?4ba?844??????????2?，当且仅当a?2b，4x?yx?y3a3b3?3a3b?393即y?2x时等号成立。

12

解析2：令t?x?0y，则

4x4xy14t111y??????1?? 4x?yx?y4x?1x?14t?1t?14t?1t?1yy?1?3t334114t?t?，当且仅当，即，也即?1??1??24t?5t?14t?124?53tt?5y?2x时等号成立。

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