考点14 基本不等式及其应用（1）
【知识框图】
【自主热身，归纳总结】
1、（2019年苏州学情调研）若正实数x，y满足x?y?1，则▲ ． 【答案】、8
【解析】、因为正实数x，y满足x?y?1， 所以?4??yyxyxy4?的最小值是 xyy4xy4x4?(x?y)y4x，??4?4?4?8，当且仅当????4?2yxyxyxy12y即y?2x，又x?y?1，即x?,y?，等号成立，即?4取得最小值8.
xy3323
2、(2018苏锡常镇调研（一）） 已知a>0, b>0，且a＋b＝ab，则ab的最小值是________． 【答案】 26
【解析】、思路分析 利用基本不等式，化和的形式为积的形式．
23
因为ab＝a＋b≥2
1?31?
3、(2017苏北四市期末）. 若实数x，y满足xy＋3x＝3?0＜x＜2?，则x＋的
??y－3最小值为________． 【答案】. 8
1?3?
【解析】、解法1 因为实数x，y满足xy＋3x＝3?0＜x＜2?，所以y＝x－3(y＞3)，
??
3111
所以x＋＝y＋3＋＝y－3＋＋6≥2
y－3y－3y－3
y－3
1
·＋6＝8，当y－3
2323·，所以ab≥26，当且仅当aba＝b＝6时，取等号．
1
且仅当y－3＝
1331，即y＝4时取等号，此时x＝7，所以x＋的最小值为8. y－3y－3
1?33?
解法2 因为实数x，y满足xy＋3x＝3?0＜x＜2?，所以y＝x－3(y＞3)，y－3＝x－
??6＞0，
313131
所以x＋＝＋＝x－6＋3＋6≥2
y－3x3
x－6x－6
?3?1
?x－6?·＋6＝8，当且仅??3
x－6
31331当x－6＝3，即x＝7时取等号，此时y＝4，所以x＋的最小值为8.
y－3
x－6解后反思 从消元的角度看，可以利用等式xy＋3x＝3消“实数x”或消“实数y”，无论用哪种消元方式，消元后的式子结构特征明显，利用基本不等式的条件成熟． 4、(2015苏北四市期末） 已知a，b为正数，且直线 ax＋by－6＝0与直线 2x＋(b－3)y＋5＝0互相平行，则2a＋3b的最小值为________． 【答案】25
【解析】、由于直线ax＋by－6＝0与直线2x＋(b－3)y＋5＝0互相平行，所以a(b23?23??ba?－3)＝2b，即a＋b＝1(a，b均为正数)，所以2a＋3b＝(2a＋3b)?a＋b?＝13＋6?a＋b?
????
baba
≥13＋6×2a×＝25(当且仅当
ba＝b即a＝b＝5时取等号)．
sinα
5、(2017南京、盐城、徐州二模） 已知α，β均为锐角，且cos(α＋β)＝sinβ，则tanα的最大值是________． 2
【答案】4
【解析】、思路分析 注意研究目标，故先要将cos(α＋β)应用两角和的余弦公式展开，然后利用同角三角函数式将tanα表示为β的函数形式，利用求函数的最值方法可得到结果．
sinαsinα
由cos(α＋β)＝sinβ得cosαcosβ－sinαsinβ＝sinβ，即cosαcosβ＝1?sinαcosβ?
sinα?sinβ＋sinβ?，由α，β均为锐角得cosα≠0，tanβ>0，所以tanα＝cosα＝
1??
sinβ＋sinβ
2
sinβcosβtanβ＝2＝＝sinβ＋12tan2β＋12
＝2时，等号成立．
21
1≤22＝4，当且仅当2tanβ＝tanβ，即tanβ
2tanβ＋tanβ
11
解后反思 根据所求的目标，将所求的目标转化为相关的变量的函数，是研究最值问题的基本方法．
6、(2016宿迁一模） 若a2－ab＋b2＝1，a，b是实数，则a＋b的最大值是________． 【答案】2
【解析】、解法1 因为a2－ab＋b2＝1，即(a＋b)2－3ab＝1，从而3ab＝(a＋b)2－1≤
3
a＋b
4
2
，即(a＋b)2≤4，所以－2≤a＋b≤2，所以(a＋b)max＝2.
解法2 令u＝a＋b，与a2－ab＋b2＝1联立消去b得3a2－3au＋u2－1＝0，由于此方程有解，从而有Δ＝9u2－12(u2－1)≥0，即u2≤4，所以－2≤u≤2，所以(a＋b)max＝2.
解法3 由于a2－ab＋b2＝1与代数式a＋b是对称的，根据对称极端性原理，当a＝b时取得最值，此时a2＝1，从而a＝±1，所以(a＋b)max＝2a＝2.
a2＋2b27、(2017苏北四市一模） 已知a，b为正实数，且a＋b＝2，则a＋的
b＋1最小值为________． 22
【答案】2＋3
【解析】、思路分析 令b＋1＝c，通过换元，使得“别扭”变“顺眼”，本题就变得比较常规了．
a2＋2b22设b＋1＝c，则b＝c－1，a＋c＝3，且0 b＋1c－12212111?a2c??21??a＋c?＝2＋?c＋a?≥2＋＝a＋c＋＋－2＝1＋＋＝1＋(a＋c) cacac33????22 3，当且仅当a＝2c，即c＝3(2－1)∈(1,3)时，取等号． 8、(2019苏州三市、苏北四市二调） 已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0(a，b，c2＋5 c∈R)的解集为{x|3 a＋b 3 【答案】 45 思路分析 先根据一元二次不等式的解集，确定a<0，以及a，b，c的关系，再c2＋5将所求运用消元法，统一成单变量a的函数问题，运用基本不等式求最值． a＋bb－??a＝7，?b＝－7a， 依题意得a<0，且3和4是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，即?则? cc＝12a，?＝12，??ac2＋5144a2＋5144a2＋5?5? 所以＝＝＝(－24a)＋?－6a?≥2 a＋ba－7a－6a?? 2 ?5??－6a?＝（－24a）·?? 5 45，当且仅当144a＝5，即a＝－12时取等号，所以所求最小值为45. 9、(2015扬州期末）设实数x，y满足x2＋2xy－1＝0，则x2＋y2的最小值是________． 5－1 【答案】2 思路分析1 注意到条件与所求均含有两个变量，从简化问题的角度来思考，消去一个变量，转化为只含有一个变量的函数，从而求它的最小值．注意中消去y较易，所以消去y. 2221－x1－x5x11?? ?2＝＋2－解法1 由x2＋2xy－1＝0得y＝2x，从而x2＋y2＝x2＋? 44x2?2x? ≥2 415－151 16－2＝2，当且仅当x＝±5时等号成立． 思路分析2 由所求的结论x2＋y2想到将条件应用基本不等式，构造出x2＋ y2，然后将x2＋y2求解出来． 解法2 由x2＋2xy－1＝0得1－x2＝2xy≤mx2＋ny2，其中mn＝1(m，n>0)，所以(m＋1)x2＋ny2≥1，令m＋1＝n，与mn＝1联立解得m＝x2＋y2≥ 5－11 ＝2. 5＋12 5－15＋1 ，n＝22，从而 4 【问题探究，变式训练】 题型一、利用基本不等式求最值问题 知识点拨：利用基本不等式求最值的问题，关键是对复杂的代数式进行合理的代数变形，配凑出使用基本不等式的条件，再利用基本不等式进行求解.解题过． 程中要注意“一正，二定，三相等”这三个条件缺一不可！ 2a2?12b2?4?例1、(2019苏锡常镇调研）已知正实数a，b满足a＋b＝1，则ab的最小值为 ． 【答案】、.11. 【解析】、思路分析：由于目标式比较复杂，不能直接求最小值，需要对该式子进行变形，配凑出使用基本不等式的条件，转化为熟悉的问题，然后利用基本不等式求解． 2a2?12b2?41414b4ab4a??2a??2b??2(a?b)?(?)(a?b)???7?2??7?11ababababab1?a??2a2?12b2?4b4a3?当且仅当?，即?时取“?”，所以的最小值为11. 2abab?b?3?y1x 【变式1】、(2019常州期末）已知正数x，y满足x＋x＝1，则x＋y的最小值为________． 【答案】、4 思路分析 多元条件等式下的最值问题通常可以考虑消元之后利用基本【解析】、不等式或函数知识求解． y1x1x112 解法1(直接消元) 由x＋x＝1得y＝x－x，故x＋y＝x＋＝＋＝ x－x2x1－x1111x ≥＝4，当且仅当x＝1－x，即x＝时取“＝”．故 2x＋y的最x（1－x）?x＋1－x?2 ??2??小值为4. 5
考点14 基本不等式及其应用(1)-2020年高考数学二轮优化提升专题训练（解析版）
