2020年初三数学中考压轴题综合训练：《二次函数》
1．已知抛物线的顶点A（﹣1，4），且经过点B（﹣2，3），与x轴分别交于C，D两
点．
（1）求直线OB和该抛物线的解析式；
（2）如图1，点M是抛物线上的一个动点，且在直线OB的上方，过点M作x轴的平行线与直线OB交于点N，求MN的最大值；
（3）如图2，AE∥x轴交x轴于点E，点P是抛物线上A、D之间的一个动点，直线PC、
PD与AE分别交于F、G，当点P运动时，求tan∠PCD+tan∠PDC的值．
解：（1）设直线OB的解析式为y＝kx， ∵B（﹣2，3）， ∴﹣2k＝3， ∴k＝﹣，
∴直线OB的解析式为y＝﹣x， ∵抛物线的顶点为A（﹣1，4），
∴设抛物线对应的函数表达式为y＝a（x+1）2+4． 将B（﹣2，3）代入y＝a（x+1）2+4，得：3＝a+4， 解得：a＝﹣1，
∴抛物线对应的函数表达式为y＝﹣（x+1）2+4，即y＝﹣x2﹣2x+3．
（2）设M（t，﹣t2﹣2t+3），MN＝s，
则N的横坐标为t﹣s，纵坐标为﹣（t﹣s），
∵，
∴x1＝﹣2，x2＝，
∵点M是直线OB的上方抛物线上的点， ∴﹣2＜t＜， ∵MN∥x轴，
∴﹣t2﹣2t+3＝﹣（t﹣s）， ∴s＝﹣
t+2＝﹣，
∵﹣2＜t＜，
∴当t＝﹣时，MN的最大值为
（3）解：过点P作PQ∥y轴交x轴于Q，
；
设P（t，﹣t2﹣2t+3），则PQ＝﹣t2﹣2t+3，CQ＝t+3，DQ＝1﹣t， ∴tan∠PCD+tan∠PDC＝＝＝
＝1﹣t+t+3， ＝4．
，
， ，
2．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+2与x轴交于点B，与y轴交点C，抛物线
y＝﹣x2+bx+c经过B，C两点，与x轴交于另一点A．如图1，点P为抛物线上任意一
点．过点P作PM⊥x轴交BC于M． （1）求抛物线的解析式；
（2）当△PCM是直角三角形时，求P点坐标；
（3）如图2，作P点关于直线BC的对称点P′，作直线P′M与抛物线交于EF，设抛物线对称轴与x轴交点为Q，当直线P′M经过点Q时，请你直接写出EF的长．
解：（1）∵直线y＝﹣x+2与x轴交于点B，与y轴交点C， ∴B（4，0），C（0，2），
∴把B（4，0），C（0，2）代入y＝﹣x2+bx+c得，
，
解得，，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣
+2；
（2）∵PM⊥x轴交BC于M．BC不平行x轴， ∴∠PMC≠90°，
当∠CPM＝90°时，PC∥x轴，则P点的纵坐标为2， ∵y＝﹣
+2的对称轴为x＝1，
∴P点的横坐标为：2， 此时P（2，2）；
当∠PCM＝90°时，设P（m，
），则M（m，﹣m+2），
2020年初三数学中考压轴题综合训练：《二次函数》含答案
