5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
第1课时 两角差的余弦公式
(教师独具内容)
课程标准：1.经历推导两角差的余弦公式的过程，知道两角差的余弦公式的意义.2.理解利用两点间的距离公式导出两角差的余弦公式的主要步骤.3.熟记两角差的余弦公式的形式及符号特征，并能利用该公式进行求值、计算．
教学重点：两角差的余弦公式的推导与运用． 教学难点：两角差的余弦公式的推导过程.
【知识导学】
知识点 两角差的余弦公式
(1)公式中的α，β都是任意角，可以为常量，也可以为变角．
(2)公式右端的两部分为02同名三角函数的积，连接符号与左边角的连接符号03相反． 【新知拓展】
(1)逆用：cosαcosβ＋sinαsinβ＝cos(α－β)． (2)角变换后使用
cosα＝cos[(α＋β)－β]＝cos(α＋β)cosβ＋sin(α＋β)sinβ.
□□(3)移项使用
cosαcosβ＝cos(α－β)－sinαsinβ； sinαsinβ＝cos(α－β)－cosαcosβ. (4)特殊化使用导出诱导公式 cos??πππ?2－α?
??＝cos2cosα＋sin2sinα＝sinα.
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)cos(60°－30°)＝cos60°－cos30°.( )
(2)对于任意实数α，β，cos(α－β)＝cosα－cosβ都不成立．( (3)对任意α，β∈R，cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ都成立．(答案 (1)× (2)× (3)√ 2．做一做 (1)cos30°cos60°＋sin30°sin60°等于( ) A.13132 B.2 C．－2 D．－2 (2)设α∈??π?3?π??0，2??，若sinα＝5，则2cos??α－4??等于( ) A.717D．－15 B.5 C．－5 5 (3)cos15°＝________. (4)已知cosα＝1?5，α∈??0，π2???
?，则cos??α－π3???＝________. 答案 (1)B (2)A (3)
6＋21＋62
4 (4)10
题型一 给角求值 例1 计算：
(1)cos15°cos105°＋sin15°sin105°；
(2)cos(β－15°)cos(β＋15°)＋sin(β－15°)sin(β＋15°)； (3)sin75°.
[解] (1)原式＝cos(15°－105°)＝cos(－90°)＝0.
(2)原式＝cos[(β－15°)－(β＋15°)]＝cos(－30°)＝cos30°＝3
2.
) )
(3)sin75°＝cos15°＝cos(45°－30°) ＝cos45°cos30°＋sin45°sin30° 6＋22321
＝2×2＋2×2＝4. 金版点睛
两角差的余弦公式常见题型及解法
(1)两特殊角之差的余弦值，利用两角差的余弦公式直接展开求解． (2)含有常数的式子，先将常数转化为特殊角的三角函数值，再利用两角差的余弦公式求解．
(3)求非特殊角的三角函数值，把非特殊角转化为两个特殊角的差，然后利用两角差的余弦公式求解．
[跟踪训练1] 求下列各式的值： (1)cos75°cos15°－sin75°sin195°； (2)sin46°cos14°＋sin44°cos76°； 13(3)2cos105°＋2sin105°. 解 (1)cos75°cos15°－sin75°sin195° ＝cos75°cos15°－sin75°sin(180°＋15°) ＝cos75°cos15°＋sin75°sin15° 1＝cos(75°－15°)＝cos60°＝2. (2)sin46°cos14°＋sin44°cos76°
＝sin(90°－44°)cos14°＋sin44°cos(90°－14°) ＝cos44°cos14°＋sin44°sin14° 3＝cos(44°－14°)＝cos30°＝2. 13(3)2cos105°＋2sin105° ＝cos60°cos105°＋sin60°sin105° 2＝cos(60°－105°)＝cos(－45°)＝2. 题型二 给值(式)求值
π?4??2π?例2 (1)已知tanθ＝3，θ∈?0，2?，求cos?3－θ?；
????
416
(2)已知α，β为锐角，且cosα＝5，cos(α＋β)＝－65，求cosβ的值．
新教材人教版高中数学必修1 第五章 5.5 5.5.1 第1课时
