专题3转化与化归思想
化归就是转化和归结，它是解决数学问题的基本方法，在解决数学问题时，人们常常是将需要解决的问题，通过某种转化手段，归结为另一个相对较容易解决的或者已经有解决模式的问题，以求得问题的解答.中学数学处处都体现出化归的思想，如化繁为简、化难为易、化未知为已知，化高次为低次等，它是解决问题的一种最基本的思想.
1．f(x)是R上的奇函数，f(x＋2)＝f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x，则f(7.5)等于________． 解析：由f(x＋2)＝f(x)知，f(x)的周期为2，所以f(7.5)＝f(－0.5)＝－f(0.5)＝－0.5. 答案：－0.5
2．若m，n，p，q∈R且m＋n＝a，p＋q＝b，ab≠0，则mp＋nq的最大值是________． 解析：(mp＋nq)＝mp＋2mpnq＋nq≤mp＋mq＋np＋nq＝(m＋n)(p＋q)＝ab. 所以－ab≤mp＋nq≤ab，当且仅当mq＝np时等号成立． 答案：ab
3.如图，把椭圆＋＝1的长轴AB分成8等份，过每个分点
2516交椭圆的上半部分于P1，P2，P3，P4，P5，P6，P7七个点，F是椭圆则P1F＋P2F＋P3F＋P4F＋P5F＋P6F＋P7F＝________.
解析：设椭圆的另一个焦点为F′，根据椭圆的对称性知，P1F＋P7F＝P1F＋
2
22
22
22
22
22
22
2
2
2
2
2
2
2
2
x2y2
作x轴的垂线的一个焦点，
P1F′＝2a，P2F＋P6F＝P3F＋P5F＝2a，又|P4F|＝a，∴P1F＋P2F＋P3F＋P4F＋P5F＋P6F＋P7F＝7a＝35.
答案：35
4．已知关于x的方程x＋2alog2(x＋2)＋a－3＝0有惟一解，则实数a的值为________． 解析：令f(x)＝x＋2alog2(x＋2)＋a－3，显然f(x)是偶函数，方程f(x)＝0要有惟一实根，则此根必为x＝0，故2a＋a－3＝0，解得a＝1或a＝－3，当a＝－3时，易知方程f(x)＝0不止有一个实根，故a＝1.
答案：1
5．已知三棱锥S－ABC的三条侧棱两两垂直，SA＝5，SB＝4，SC＝3，D为AB的中点，E为AC的中点，则四棱锥S－BCED的体积为________．
22
2
2
2
2
2
13331115
解析：由S△ADE＝S△ABC，得VS－BCED＝VS－ABC＝VA－BSC＝×××SB×SC×SA＝.
444432215
答案：
2
[典例1]
(1)如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝1，BC＝2，AC＝ 5，AA1＝3，M段BB1上的一动点，则当AM＋MC1最小时，△AMC1的面积为________．
(2)若不等式＋≥k对于任意正实数x，y总成立的必要不充分条件
10843[m，＋∞)，则正整数m只能取________．
[解析] (1)将侧面展开后可得：当A、M、C1三点共线时，AM＋MC1最小，又＝1∶2，AB＝1，BC＝2，CC1＝3，所以AM＝2，MC1＝22.又在原三棱柱中AC1
9＋5＝14，
为线
x2y2xy是k∈
AB∶BC＝
AM2＋C1M2－AC22＋8－14131
所以cos ∠AMC1＝＝＝－，故sin ∠AMC1＝.
2AM·C1M222×2×22
13
所以三角形面积为S＝×2×22×＝3.
22(2)由＋≥k(x>0，y>0)
10843
x2
2
y2xy2
y?11?xxy1
??＋?≥k?＋≥k， xy?1084?3108y4x3
1xy所以k小于等于＋(x>0，y>0)的最小值，
3108y4x因为＋≥2108y4xxy·＝108y4xxy122
(当且仅当x＝27y时取等号)， 108
3k所以3≥108＝27×4＝2×3
233k?log33≥log3(2×3)?k≥log32＋.
22
33??所以k∈[m，??所以k的取值范围是?log32＋，＋∞?，＋∞)是k∈?log32＋，＋∞?的必要不充分条件，
22????3
即m 2 [答案] (1)3 (2)1或2 1．把空间问题转化为平面问题是立体几何的基本思想，是化归思想在数学应用中的具体体现． 2．不等式恒成立的问题，一般转化为求函数的最值问题． [演练1] 如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面为直角三角形，∠ACB＝90°，＝CC1＝2，P是BC1上一动点，则CP＋PA1的最小值是________． 解析：连结A1B，沿BC1将△CBC1展开与△A1BC1在同一个平面内，如图 所示，连结 AC＝6，BCA1C，则A1C的长度就是所求的最小值．通过计算，可得∠A1C1B＝90°. 又∠BC1C＝45°，∴∠A1C1C＝135°. 由余弦定理可求得A1C＝52. 答案：52 [典例2] 已知椭圆＋＝1，A，B是其左、右顶点，动点M满足MB⊥AB，连结AM交椭圆于点P，在x轴上有 42异于点A，B的定点Q，以MP为直径的圆经过直线BP，MQ的交点，则点Q的坐标为________． [解析] 法一：取P(0，2)，则M(2,22)， 设Q(q,0)，由以MP为直径的圆经过直线BP，MQ的交点可知，MQ⊥PB，则有kMQ·kPB＝－1，即22?2? ·?－?＝－1. 2－q?2? 解得q＝0，即得Q(0,0)． 法二：设M(2，m)，则直线AM的方程为y＝(x＋2)，联立 4 x2y2 m错误! m2＋82m2m2 消去y并整理得，x＋x＋－1＝0， 32 8 8 m2 则xP＝ 8 －1 －2· m2－8 ＝－2·2， m2＋8m＋8 32 m8myP＝(xP＋2)＝2， 4m＋8 8mm＋82 所以kPB＝＝－， 2 m－8m－2·2－2 m＋8 2 m1m设Q(q,0)，则kMQ＝＝－＝，解得q＝0， 2－qkPB2 即得Q(0,0)． 法三：设P(x0，y0)，则直线AP的方程为y＝ 4y0??(x＋2)，可得M?2，?，设Q(q,0)，则kMQ·kPBx0＋2?x0＋2? y0 4y0?x0?2?1－?2222x0＋2y0y04x0y0y01?4? ＝－1，即·＝－1，所以2·＝－1.又＋＝1，可得2＝2＝－，进而求得 2－qx0－2x0－42－q42x0－4x0－42 2 q＝0，故Q(0,0)． [答案] (0,0) 本题把圆过某点的问题转化为两直线的垂直问题，以便于建立方程求解，法一是用特例法，取P的特殊位置，利用两直线垂直建立方程求解，过程简单，避免了“小题大做”．法二、法三是一般法，设出一个点的坐标，求解另一点的坐标，再由垂直关系建立方程求解． x2y2 [演练2]过双曲线2－2＝1(a>0 ab，b>0)的左焦点F(－c,0)(c>0)，作圆x＋y＝的切线，切点为E， 4 2 2 a2 延长FEuuur1uuuruuur交曲线右支于点P，若OE＝( OF＋OP)，则双曲线的离心率为 2 ________． uuur1uuuruuur解析：由OE＝( OF＋OP)可知E为PF的中点，则PF＝2EF＝2 2 2 2 c－＝ 4c2－a2.设双曲线 4 2 2 2 a2 的另一个焦点为F′，则PF′＝2EO＝a，则由双曲线的定义得 4c－a－a＝2a，即4c＝10a，e＝ 答案： 10 2 10. 2 [典例3] 若关于x的方程x＋ax＋ax＋ax＋1＝0有实数根，求实数a的取值范围． 4 3 2 ?21??1?432 [解] 由x＋ax＋ax＋ax＋1＝0，得?x＋2?＋a?x＋?＋a＝0， ? x? ?x? ?1?2?1?即?x＋?＋a?x＋?＋a－2＝0， ? x? ?x? 1 令t＝x＋(t∈(－∞，－2]∪[2，＋∞))， x则函数f(t)＝t＋at＋a－2在t∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)上有零点，因为Δ＝a－4a＋8>0恒成立， 22 a??－>2，所以f(－2)≤0或f(2)≤0或?2 ??f2>0 a??－<－2， 或?2??f－2>0， 2 解得a≤－或a≥2. 3 2??所以a的取值范围是?－∞，－?∪[2，＋∞)． 3?? 本题利用换元法先把四次方程转化为二次方程，再把方程有实根的问题转化为函数有零点的问题，从而可以数形结合求解． [演练3] 设x，y为正实数，a＝ x＋xy＋y，b＝pxy，c＝x＋y. (1)如果p＝1，则是否存在以a，b，c为三边长的三角形？请说明理由； (2)对任意的正实数x，y，试探索当存在以a，b，c为三边长的三角形时p的取值范围． 解：(1)存在；∵p＝1时b 2 22 2 xy x＋y＋x2＋xy＋y2 所以p＝1时，存在以a，b，c为三边长的三角形． ??a＋c>b， (2)∵a ?c－a ?x＋y＋x2＋xy＋y2>pxy， 即? ?x＋y－x2＋xy＋y2 ??ft>p，x两边除以xy，令＝t，得? y?gt 这里f(t)＝t＋ 1 1 t＋1 t＋＋1， t1 g(t)＝t＋t－1 t＋＋1， t＋ 由于f(t)＝t＋ t1 t＋＋1≥2＋2＋1＝2＋3， tt＋＋1＝t1 1 ≤2－3，当且仅当t＝1时，f(t)取最小 1 所以g(t)＝t＋ t－t＋ 1 t＋ 1 t＋＋1 t值2＋3，g(t)取最大值2－3. 因此2－3 即p的取值范围为(2－3，2＋3)时，以a，b，c为三边的三角形总存在． [专题技法归纳] 等价转化是把未知解的问题转化到在已有知识范围内可解的问题的一种重要的思想方法．通过不断的转化，把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范甚至模式化、简单的问题．历年高考，等价转化思想无处不见，我们要不断培养和训练自觉的转化意识，这有利于强化解决数学问题中的应变能力，提高思维能力和技能、技巧． 等价转化思想方法的特点具有灵活性和多样性．在应用等价转化的思想方法去解决数学问题时，没有一个统一的模式去进行．它可以在数与数、形与形、数与形之间进行转换；它可以在宏观上进行等价转化，如在分析和解决实际问题的过程中，普通语言向数学语言的翻译；它可以在符号系统内部实施转换，即所
（江苏专用）2020年高考数学二轮复习（数学思想方法部分）专题3转化与化归思想学案
