江苏省南通市2020届高三第二学期阶段性模拟考试
数 学 试 题
2020.05
(总分160分，考试时间120分钟)
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答
题纸的指定位置上） 1．已知集合A??1,2,3,4?，B??xlog2(x?1)?2?，则AIB? ▲ ． 2．设复数z?(2?i)（i为虚数单位），则z的共轭复数为 ▲ ．
3．若以连续掷两次骰子分别得到的点数m，n作为点P的横、纵坐标，则点P在直线2x﹣y﹣1＝0上方的概率为 ．
4．在平面直角坐标系xOy中，若抛物线x2?2py(p?0)上纵坐标为1的一点到焦点的距离为4，则该抛物线的焦点到准线的距离为 ▲ ． 5．执行右边的程序框图，若p＝14，则输出的n的值
为 ▲ ．
26．函数y?log2(3?2x?x)的值域为 ▲ ．
2开始 输入p n←1, S←0 S < p Y N 7．等差数列{an}中，若a3?a5?a7?a9?a11?100， 则3a9?a13? ▲ ．
8．现用一半径为10 cm，面积为80? cm的扇形铁皮制作一个无盖的
圆锥形容器（假定衔接部分及铁皮厚度忽略不计，且无损耗），则该容器的容积为 ▲ cm．
3
2
S←S + 2n n←n + 1 输出n 结束 （第5题）
???0， ??，且tan??????1，tan???1，则tan?的值为 ▲ ． 9．已知?，52?x?y?4≤0?10．已知实数x,y满足?2x?y?1≥0，则z?x?y?3的取值范围是 ▲ ．
?x?4y?4≥0?
11．若函数f(x)?asinx?π?3sinx?π是偶函数，则实数a的值为 ▲ ．
6312．在△ABC中，cosA?2sinBsinC，tanB?tanC??2，则tanA的值为 ▲ ．
1
????
?1?mx2，x?0，?x13．已知函数f(x)??e若函数f(x)有四个不同的零点，则实数m的取值
x2??e?mx，x?0，
范围是 ▲ ．
14．已知???0,2??，若关于k的不等式sin??cos??ksin3??cos3?在???,?2?上恒成
立，则?的取值范围为 ▲ ．
二、解答题（本大题共6小题，计90分. 解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步
骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．(本小题满分14分)
已知sin??cos??（1）求?的值；
（2）设函数f(x)?sinx?sin
16．(本小题满分14分)
如图，在四棱锥P?ABCD中，底面ABCD为梯形，CD//AB，AB?2CD， AC交BD 于O，锐角?PAD所在平面PAD⊥底面ABCD，点Q在侧棱PC上，且PQ?2QC． PA?BD， （1）求证：PA//平面QBD； （2）求证：BD?AD．
17．(本小题满分14分)
Q22??3?1?ππ?，????，?． 2?44??x???，x?R，求函数f(x)的单调增区间．
PDCO A(第16题图) B3)为 在平面直角坐标系xOy中，圆O：x2?y2?4，直线l：4x?3y?20?0．A(4，55圆O内一点，弦MN过点A，过点O作MN的垂线交l于点P． （1）若MN∥l，求△PMN的面积．
（2）判断直线PM与圆O的位置关系，并证明．
2
18．(本小题满分16分)
如图，有一正三角形铁皮余料，欲利用余料剪裁出一个矩形(矩形的一个边在三角形的边上)，并以该矩形制作一铁皮圆柱的侧面。问：如何剪裁，才能使得铁皮圆柱的体积最大？
19．(本小题满分16分)
设Sn数列{an}的前n项和，对任意n?N?，都有Sn?(an?b)(a1?an)?c（a，，bc为 常数）．
b?3，c??2时，求Sn； （1）当a?0，2b?0，c?0时， （2）当a?1，2 （ⅰ）求证：数列{an}是等差数列；
（ⅱ）若对任意m,n?N?，必存在p?N?使得ap?am?an，已知a2?a1?1，
11）且?1?[1，，求数列{an}的通项公式．
S29i?1in
20．(本小题满分16分)
若实数x0满足p?x0??x0，则称x?x0为函数p?x?的不动点．
（1）求函数f?x??lnx?1的不动点；
（2）设函数g?x??ax3?bx2?cx?3，其中a，b，c为实数．
3
1① 若a?0时，存在一个实数x0?[,2]，使得x?x0既是g?x?的不动点，又是
2g??x? 的不动点（g??x?是函数g(x)的导函数），求实数b的取值范围； ② 令h?x??g'?x??a?0?，若存在实数m，使m，h?m?，h?h?m??，hh?h?m?? 成各项都为正数的等比数列，求证：函数h?x?存在不动点．
??江苏省南通市2020届高三第二学期阶段性模拟考试
数学附加题
（本部分满分40分，考试时间30分钟）
21．[选做题]（本题包括A、B、C三小题，请选定其中两小题，并在答题相应的区域内作
答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） A.（选修4-2：矩阵与变换）（本小题满分10分）
a -1??已知矩阵M＝??，对应的変换把点(2,1)变成点(7、－1). ?-2 b?(1) 求a,b的特征值. (2) 求矩阵M的特征值.
B.（选修4-4：坐标系与参数方程）（本小题满分10分）
以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中
?x＝t，?
取相同的长度单位．已知直线l的参数方程是?(t为参数)，圆C的极坐标方
??y＝t－3
2020.05
程是ρ＝4cos θ，求直线l被圆C截得的弦长．
C．(选修4-5：不等式选讲）（本小题满分10分）
对任意实数t，不等式|t?3|?|2t?1|≥|2x?1|?|x?2|恒成立，求实数x的取值范围．
4
[必做题]（第22、23题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内） 22．（本小题满分10分）
已知(1＋x)2n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2nx2n． （1）求a1＋a2＋a3＋…＋a2n的值；
111111
（2）求－＋－＋…＋－的值．
a1a2a3a4a2n－1a2n
23．（本小题满分10分）
甲，乙两人进行抛硬币游戏，规定：每次抛币后，正面向上甲赢，否则乙赢．此时， 两人正在游戏，且知甲再赢m（常数m?1）次就获胜，而乙要再赢n（常数n?m） 次才获胜，其中一人获胜游戏就结束．设再进行?次抛币，游戏结束． （1）若m?2，n?3，求概率P???4?；
（2）若n?m?2，求概率P???m?k?（k?2，3，…，m?1）的最大值（用m表示）．
5
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数学参考答案
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分. 1. ?2,3,4? 2. 3?4i 3. 5 4.
12
5. 4 6. ???,2?
2e7. 40 8. 128π 9. ? 10. [1,7] 11. ?1 12. 1 13. (??,?) 14.
114????0,4? ??二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，
请把答案写在答题纸的指定区域内. 15．(本小题满分14分)
3?13解：（1）由sin??cos??，得(sin??cos?)2?1?，
2233即sin2??2sin?cos??cos2??1?，所以sin2???．
22?（2）由（1）知，f(x)?sinx?sin?x?π?，
6??22π，所以2???π，π，所以2???π，即???π． 因为???π，442236?所以f(x)?1?1?cos2x??1?1?cos2x?π? 22?3?????3sin2x?1cos2x??1sin2x?π．
?1?cos2x?π?cos2x??1???2?622?3???2?2令2kπ?π≤2x?π≤2kπ+π，
262得kπ?π≤x≤kπ+π，所以函数f(x)的单调增区间是?kπ?π，kπ+π?，k?Z．
?63?63??16．（本小题满分14分）
证明：（1）如图，连接OQ，
因为AB//CD，AB?2CD，
所AO?2OC， ………2分 又PQ?2QC，
所以PA//OQ， …………4分 又OQ?平面QBD， PA?平面QBD，
所以PA//平面QBD. ……… 6分 （2）在平面PAD内过P作PH?AD于H，
因为侧面PAD?底面ABCD，平面PADI平面ABCD?AD，
PH?平面PAD，所以PH?平面ABCD， …………………8分 又BD?平面ABCD，所以PH?BD， …………………10分
6
????
因为?PAD是锐角三角形，所以PA与PH不重合， 即PA和PH是平面PAD内的两条相交直线，
又PA?BD，所以BD?平面PAD， …………………12分 又AD?平面PAD，所以BD?AD． …………………14分 17．（本小题满分14分）
解：（1）因为MN∥l，设直线MN的方程为4x?3y?c?0， 由条件得，4?4?3?3?c?0，解得c??5，即直线MN的方程为4x?3y?5?0．
55因为kOA?3，kMN??4，所以kOA?kMN??1，即OA?MN，
34所以MN?24?OA2?23． 又因为直线MN与直线l间的距离d?|?20?(?5)|4?322?3，即点P到直线MN的距离为3，
所以△PMN的面积为1?23?3?33． 2（2）直线PM与圆O相切，证明如下： y0?35y?35?0设M(x0，y0)，则直线MN的斜率k?，
45x?40x0?5因为OP?MN，所以直线OP的斜率为?所以直线OP的方程为y??5x0?4，
5y0?35x0?4x．
5y0?35x0?4?x，4(5y0?3)4(5x0?4)?y??5y0?3联立方程组?解得点P的坐标为， ，?4y?3x4y?3x0000?4x?3y?20?0，???uuuur4(5y0?3)4(5x0?4)所以PM?-x0，?-y0，
4y0?3x04y0?3x0??uuuur22OM??x0，y0?，x0?y0?4， 由于
uuuuruuuur4x(5y?3)24y(5x?4)2所以PM?OM?00-x0?00-y0
4y0?3x04y0?3x0?4x0(5y0?3)?4y0(5x0?4)?12x0?16y0?4??4?0，
4y0?3x04y0?3x0uuuuruuuur所以PM?OM，即PM?OM，所以直线PM与圆O相切，得证．
18. 设正三角形长为l，如图，设EF?x，则BF?x2x，GF?l?……………3分 33 7
若以EF为底、GF为高，则圆柱底面半径r1?2211x 2?33l?x??2x?1?2x2?V1??rh???l????lx，……………… 6分 0?x??????23?4??3?2????V1??1x?23x2?2lx??4?2????3x?l
?当0?x?l3ll?x?时，V1??0；当时，V1??0；
233l3?l??V1???36?……………………………………………………………8分
?3?所以V1maxl?若以GF为底、EF为高，则圆柱底面半径r2?22?2x3………………………11分
2x??l???1?434l22?3l32， V2??r2h2???x?x?lx0?x??x???24??33??2??????V2??14?l3l?28l2??，令，得、 x?x?4x?x?lV?0212??2233??l3l?x?时，V2??0；当时，V2??0；
22323当0?x?l所以V2maxl3?l? ………………………………………………………14分 ?V2????23?183?l3l3???V1max，
36?183?因为V2max所以以GF为底、EF为高，且EF?l23时，体积最大。……………… 16分
19．解：（1）当a?0，b?3，c??2时，Sn?3(a1?an)?2．① 22当n?1时，S1?3(a1?a1)?2，所以a1?1． 2当n≥2时，Sn?1?3(a1?an?1)?2．②
2 8
①－②得：aann?3an?1．因为a1?1，所以an?1?0，所以a?3， n?1所以?an?是以1为首项，3为公比的等比数列，
所以S1?3nn?1?3?12(3n?1)． （2）（ⅰ）当a?1，b?0，c?0时，Sn2n?2(a1?an)．③
当n≥2时，S?1n?1?n2(a1?an?1)．④
③－④得：(n?2)an?(n?1)an?1?a1，⑤ 所以(n?1)an?1?nan?a1．⑥
⑤－⑥得：(n?1)an?1?(n?1)an?1?2(n?1)an． 因为n≥2，所以an?1?an?1?2an即an?1?an?an?an?1，
所以?an?是等差数列．
（ⅱ）因为a2?a1?1，所以d?1．
因为ap?am?an，所以a1?p?1?2a1?m?n?2，所以a1?p?m?n?1． 因为p,m,n?N*，所以a1?Z．又因为12≤1a?11，
19所以911?a1≤2，所以a1?1或a1?2．
当a1时，a?(n?1)nn1?n?n，Sn，?1?2?1?12i?1Sin?1??2nn?1，
所以1?1S?4?11 不符合题意．
1S239当a1?2时，a?3)nn?n?1，Sn?(n2， n所以?1?11?2?1?1?1i?1Si93n?1n?2n?3??119满足题意．
所以an?n?1．
20.解：（1）由题意可知，lnx?1?x．
令??x??lnx?x?1，x?0．故?'?x??1x?1?1?xx．…………………………2分列表： x ?0，1? 1 ?1，???
9
?'?x? ? 0 ? Z 极大值f?1??0 ] 所以，方程lnx?1?x有唯一解x?1． 所以函数f?x??lnx?1的不动点为1．………………………………………………4分
?bx02?cx0?3?x0?（2）① 由题意可知?………………………………………………6分
2bx?c?x，?00?311?5?消去c，得b?2??1，x0?[,2]，所以b??,11?．…………………………8分
x0x02?4???x? ② h?x??g'?x??3ax2?2bx?c．
由题意知m，h?m?，h?h?m??，hh?h?m??成各项都为正数的等比数列， ?h?m??qm，??故可设公比为q，则?h?h?m???qh?m?，
?hh?h?m???qh?h?m??，??故方程h?x??qx有三个根m，h?m?，h?h?m??．………………………………11分
????又因为a?0，所以h?x??g'?x??3ax2?2bx?c为二次函数，
故方程h?x??qx为二次方程，最多有两个不等的根．则m，h?m?，h?h?m??中至少有两个值相等．……………………………………………………………………13分
当h?m??m时，方程h?x??x有实数根m，也即函数h?x?存在不动点，符合题意； 当h?h?m???m时，则qh?m??m，q2m?m，故q2?1，又因为各项均为正数，则q?1，也即h?m??m，同上，函数h?x?存在不动点，符合题意；
当h?h?m???h?m?时，则qh?m??qm，h?m??m，同上，函数h?x?存在不动点，符合题意；
综上所述，函数h?x?存在不动点．…………………………………………………16分
附加题参考答案
21A.
10
??x＝t，
B．解：直线l的参数方程? (t为参数)化为直角坐标方程是y＝x－3，…… 2
?y＝t－3?
分
圆C的极坐标方程ρ＝4cos θ化为直角坐标方程是x2＋y2－4x＝0． …… 5分 圆C的圆心(2，0)到直线x－y－3＝0的距离为d＝又圆C的半径r＝2，
所以直线l被圆C截得的弦长为2r2－d2＝14． …… 10分
??3t?2，t??1，?2??C. 解：设f(t)?|t?3|?|2t?1|，即f(t)??t?4，?1≤t≤3，
2?t?3，?3t?2，??1
＝2． …… 7分 22 所以f(t)的最小值为7，所以|2x?1|?|x?2|≤7．
22 当x??2时，不等式即为?(2x?1)?(x?2)≤7，解得x≥?3，矛盾；
22 当?2≤x≤1时，不等式即为?(2x?1)?(x?2)≤7，解得x≥?1，所以?1≤x≤1；
22222 当x?1时，不等式即为(2x?1)?(x?2)≤7，解得x≤5，所以1?x≤5．
62622 综上，实数x的取值范围是?1≤x≤5．
26 22.
（1）令x＝0得，a0＝1；令x＝1得，a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a2n＝22n．
11
于是a1＋a2＋a3＋…＋a2n＝22n－1．
（2）ak＝C2kn，k＝1，2，3，…，2n，
k!(2n+1－k)!(k＋1)!(2n－k)!k!(2n－k)!(2n＋1－k＋k＋1)11
首先考虑＋k＋1＝＋＝
(2n＋1)!(2n＋1)!(2n＋1)! C2nk C2n＋1＋1k!(2n－k)!(2n＋2)2n＋2
＝＝，
(2n＋1)!(2n＋1) C2kn则
2n＋1111＝(＋＋1)， C2kn2n＋2 C2nk C2kn＋1＋1
2n＋11111因此k－k＋1＝(k－＋2)． C2n C2n2n＋2 C2n＋1 C2kn＋1111111故－＋－＋…＋－ a1a2a3a4a2n－1a2n
2n＋1111111＝(－＋－＋…＋－n－1n＋1) 2n＋2 C2n1 C2n3 C2n3 C2n5 C2 C2＋1＋1＋1＋12n＋12n＋12n＋112n＋111n＝((－1)＝－． 1－2n＋1)＝2n＋2 C2n＋1 C2n＋12n＋22n＋1n＋1
23．(本小题满分10分)
解：（1）依题意， P???4??3?1?1?3．
28（2）依题意，P???m?k??C设f?k??C??3?m?1m?k?1?Cm?1m?k?1??12??m?k（k?2，． 3，…，m?1）
?m?1m?k?1?Cm?1m?k?1??12??m?k??m?k?1?!?m?k?1?!?1?????2m?1!k!m?1!k?2!????????m?k??m?k
m?m?1??k?k?1?1? ?2?m?1?!k!????m?k?1?!
m?m?1???k?1?k1m?k?1???m?k?!f?k?1??m?k???m?1?!?k?1?!2?m?m?1???k?1?k??． ?则?m?kf?k?m?m?1??k?k?1?12?k?1???m?m?1???k?1?k?????m?k?1?!2?m?1?!k!????而
?m?k???m?m?1???k?1?k??≥1 （＊） 2?k?1???m?m?1???k?1?k???k3??m?1?k2??m2?2?k?m?m2?m?2?≤0
（＃） ??k?m??k2?k?m2?m?2?≤0．
因为k2?k?m2?m?2?0的判别式??1?4m2?m?2?0
?? 12
?m2?m?7?0（显然在m?1，m?N*时恒成立），
4所以k2?k?m2?m?2?0．
又因为k≤m，所以（＃）恒成立，从而（＊）成立． 所以
f?k?1?≥1，即f?k?1?≥f?k?(当且仅当k?m时，取“=”)， f?k?所以f?k?的最大值为f?m??f?m?1??C?m?12m?Cm?12m??1??2m?1，
2m?1即P???m?k?的最大值为?Cm?1?12m?Cm2m???12?2．
13
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