江苏省南京市2019-2020学年高考数学一模试卷
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知抛物线y2?2px(p?0)上一点(5,t)到焦点的距离为6,P、Q分别为抛物线与圆
(x?6)2?y2?1上的动点,则PQ的最小值为( )
A.21?1 【答案】D 【解析】 【分析】
利用抛物线的定义,求得p的值,由利用两点间距离公式求得PM,根据二次函数的性质,求得PM由PQ取得最小值为PM【详解】
由抛物线C:y?2px(p?0)焦点在x轴上,准线方程x??2B.2?5 5C.25 D.25?1
min,
min?1,求得结果.
p, 2则点(5,t)到焦点的距离为d?5?所以抛物线方程:y?4x,
2p?6,则p?2, 2设P(x,y),圆M:(x?6)?y?1,圆心为(6,1),半径为1, 则PM?(x?6)2?y2?(x?6)2?4x?(x?4)2?20, 当x?4时,PQ取得最小值,最小值为20?1?25?1, 故选D. 【点睛】
该题考查的是有关距离的最小值问题,涉及到的知识点有抛物线的定义,点到圆上的点的距离的最小值为其到圆心的距离减半径,二次函数的最小值,属于中档题目. 2.数列{an}满足:a3?A.
2210 211,an?an?1?2anan?1,则数列{anan?1}前10项的和为 520918B. C. D.
211919【答案】A 【解析】
分析:通过对an﹣an+1=2anan+1变形可知
11??2,进而可知an?1,利用裂项相消法求和即可. an?1an2n?1详解:∵an?an?1?2anan?1,∴
11??2, an?1an1又∵=5,
a3∴
11??2?n?3??2n?1,即an?1, ana32n?11111???an?an?1?????,
22?2n?12n?1?1?11111?1?1?101????L???1?, ?????2?3351921?2?21?21∴anan?1?∴数列?anan?1?前10项的和为故选A.
点睛:裂项相消法是最难把握的求和方法之一,其原因是有时很难找到裂项的方向,突破这一难点的方法
11?11???是根据式子的结构特点,常见的裂项技巧:(1)(2) ??;
n?n?k?k?nn?k?1?k1
n?k?n?111?11????n?k?n; (3) (4)?;nn?1n?22????2n?12n?1?2n?1??2n?1?2????1?1?1???;此外,需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题,导致计
nn?1n?1n?2??????????算结果错误.
3.台球是一项国际上广泛流行的高雅室内体育运动,也叫桌球(中国粤港澳地区的叫法)、撞球(中国台湾地区的叫法)控制撞球点、球的旋转等控制母球走位是击球的一项重要技术,一次台球技术表演节目中,在台球桌上,画出如图正方形ABCD,在点E,F处各放一个目标球,表演者先将母球放在点A处,通过击打母球,使其依次撞击点E,F处的目标球,最后停在点C处,若AE=50cm.EF=40cm.FC=30cm,∠AEF=∠CFE=60°,则该正方形的边长为( )
A.502cm 【答案】D 【解析】 【分析】
B.402cm
C.50cm
D.206cm
过点E,F做正方形边的垂线,如图,设?AEM??,利用直线三角形中的边角关系,将AB,BC用?表示出来,根据AB?BC,列方程求出?,进而可得正方形的边长. 【详解】
过点E,F做正方形边的垂线,如图,
设?AEM??,则?CFQ??,?MEF??QFE?60??,
o
则AB?AM?MN?NB?AEsin??EFsin60???FCsin?
?o??3?3?50sin??40sin?60o????30sin??40?sin??cos?, ??2?2??CB?BP?PC?AEcos??FCcos??EFcos?60o??? ?3?3?50cos??30cos??40cos?60o????40?cos??sin???2? 2???3??3?33因为AB?CB,则40??2sin??2cos????40??2cos??2sin???,
????整理化简得
sin??2?3,又sin2??cos2??1, cos?得sin??3?13?1 ,cos?? 2222?3??333?133?1??AB?40??2sin??2cos????40???2?22?2?22???206. ????即该正方形的边长为206cm. 故选:D. 【点睛】
本题考查直角三角形中的边角关系,关键是要构造直角三角形,是中档题.
?a(a?b)xa?b?4.定义运算,则函数f(x)?1?2的图象是( ). ?b(a?b)?A. B.
C. D.
【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】
由已知新运算a?b的意义就是取得a,b中的最小值, 因此函数f?x??1?2??x?1,x?0, x?2,x?0只有选项A中的图象符合要求,故选A.
5.盒中装有形状、大小完全相同的5张“刮刮卡”,其中只有2张“刮刮卡”有奖,现甲从盒中随机取出2张,则至少有一张有奖的概率为( ) A.
1 2B.
3 5C.
7 10D.
4 5【答案】C 【解析】 【分析】
先计算出总的基本事件的个数,再计算出两张都没获奖的个数,根据古典概型的概率,求出两张都没有奖的概率,由对立事件的概率关系,即可求解. 【详解】
2从5张“刮刮卡”中随机取出2张,共有C5?10种情况,
22张均没有奖的情况有C3?3(种),故所求概率为1?37?. 1010故选:C. 【点睛】
本题考查古典概型的概率、对立事件的概率关系,意在考查数学建模、数学计算能力,属于基础题. 6.已知i是虚数单位,则(2?i)i?( ) A.1?2i
B.?1?2i
C.?1?2i
D.1?2i
【答案】B 【解析】 【分析】
根据复数的乘法运算法则,直接计算,即可得出结果. 【详解】
?2?i?i?2i?1??1?2i.
故选B 【点睛】
本题主要考查复数的乘法,熟记运算法则即可,属于基础题型.
a??1??7.?x???2x??的展开式中各项系数的和为2,则该展开式中常数项为
x??x??A.-40 【答案】D 【解析】
令x=1得a=1.故原式=
B.-20
C.20
D.40
51111(x?)(2x?)5.(x?)(2x?)5的通项
xxxxTr?1?C5r(2x)5?2r(?x?1)r?C5r(?1)r25?rx5?2r,由5-2r=1得r=2,对应的常数项=80,由5-2r=-1得r=3,
对应的常数项=-40,故所求的常数项为40 ,选D
解析2.用组合提取法,把原式看做6个因式相乘,若第1个括号提出x,从余下的5个括号中选2个提出x,
111;若第1个括号提出,从余下的括号中选2个提出,选3个提出x. xxx13121232233故常数项=X?C5(2X)?C3(?)??C5(?)?C3(2X)=-40+80=40
XXX选3个提出8.函数y?sin?x???????ln|x|图像可能是( ) 2?A. B.
C. D.
江苏省南京市2019-2020学年高考数学一模试卷含解析
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