第三章 数系的扩充与复数的引入 3.2 复数代数形式的四则运算 3.2.2 复数代数形式的乘除运算
A级 基础巩固
一、选择题
1.复数(1+i)(1+ai)是实数,则实数a等于( ) A.2 B.1 C.0 D.-1 解析:(1+i)(1+ai)=(1-a)+(1+a)i,若是实数, 则1+a=0,所以a=-1. 答案:D
-1+i
2.复数z=-1在复平面内对应的点在( )
1+iA.第一象限 C.第三象限
B.第二象限 D.第四象限
(-1+i)(1-i)-1+i+i-i2-1+i
解析:z=-1=-1=-1
2(1+i)(1-i)1+i=i-1=-1+i,
则复数z对应的点为(-1,1),此点在第二象限. 答案:B
z2-2z
3.已知复数z=1-i,则=( )
z-1
1
A.2i B.-2i C.2 D.-2 解析:因为z=1-i,
z2-2z(1-i)2-2(1-i)-2所以===-2i.
z-11-i-1-i答案:B
4.复数z为纯虚数,若(3-i)·z=a+i(i为虚数单位),则实数a的值为( )
11
A. B.3 C.- D.-3 33
解析:由已知设z=ki(k∈R,且k≠0), 则(3-i)·ki=a+i,即k+3ki=a+i,
??k=a,1由两个复数相等的充要条件知?解得a=k=.
3?3k=1,?
答案:A
5.设i是虚数单位,是复数z的共轭复数.若z·i+2=2z,则z=( )
A.1+i C.-1+i
B.1-i D.-1-i
解析:设z=a+bi(a,b∈R),则=a-bi,又z·i+2=2z, 所以(a2+b2)i+2=2a+2bi,所以a=1,b=1,故z=1+i. 答案:A 二、填空题
6.已知a,b∈R,若a-i与2+bi互为共轭复数,则(a+bi)2
=________.
解析:因为a-i与2+bi互为共轭复数,所以a=2,b=1, 所以(a+bi)2=(2+i)2=3+4i.
2
答案:3+4i
7.设i是虚数单位,z表示复数z的共轭复数.若z=1+i,则+i·=________.
解析:因为z=1+i,则=1-i.
1+ii(1+i)z
所以+i·=+i(1-i)=+i+1=2.
ii-1答案:2
8.下面关于复数z=序号).
①|z|=2;②z2=2i;③z的共轭复数为1+i;④z的虚部为-1. 2(-1-i)2解析:z===-1-i,
-1+i(-1+i)(-1-i)所以|z|=(-1)2+(-1)2=2,z2=(-1-i)2=2i. z的共轭复数为-1+i.z的虚部为-1,所以②④正确. 答案:②④ 三、解答题
9.已知复数z=1+i,复数z的共轭复数是,求实数a、b使az+2b=(a+2z)2.
解:因为z=1+i,=1-i, 所以az+2b=(a+2b)+(a-2b)i,
(a+2z)2=(a+2)2-4+4(a+2)i=(a2+4a)+4(a+2)i. 因为a、b都是实数, 所以由az+2b
zi
2
的结论,正确的命题是________(填-1+i
?a+2b=a2+4a,?
=(a+2z)2,得?
?a-2b=4(a+2),?
3
高中数学人教A版第三章3.2-3.2.2复数代数形式的乘除运算



