等比数列及其前n项和
1.[2024陕西省部分学校摸底检测]等比数列{an}中,若an>0,a2a4=1,a1+a2+a3=7,则公比q= ( ) A. B. C.2 D.4
4
21
1
2.[2024南昌市测试]公比不为1的等比数列{an}中,若a1a5=aman,则mn不可能为 A.5 B.6 C.8 D.9
3.[2024惠州市一调]等比数列{an}的前n项和为Sn,公比为q,若S6=9S3,S5=62,则a1= A.√2 B.2 C.√5D.3
( ) ( )
4.[2024成都市高三摸底测试]已知等比数列{an}的各项均为正数,若log3a1+log3a2+…+log3a12=12,则a6a7= ( ) A.1 B.3 C.6 D.9
5.[2024大同市高三调研]已知各项均为正数的等比数列{an}中,a1a2a3=5,a7a8a9=10,则a4a5a6= .
6.[2024长春市高三质量监测]各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn,已知S6=30,S9=70,则S3=.
7.[2024河北邢台模拟]已知等比数列{an}的前n项和Sn=3n - 1 - m,m∈R. (1)求m及an;
(2)记bn=an+log3an,求数列{bn}的前n项和Tn.
8.[多选题]已知等比数列{an}的各项均为正数,公比为q,且a1>1,a6+a7>a6a7+1>2,记{an}的前n项积为Tn,则下列选项中正确的是 A.0
( )
9.[2024石家庄市重点高中高三摸底测试]已知等比数列{an}满足:a1=4,Sn=pan+1+m(p>0),则p -
1??
取最小值时,数列{an}的通项公式为
D.an=4n
( )
A.an=4×3n - 1 B.an=3×4n – 1 C.an=2n+1
10.[2024长春市高三第一次质量监测]已知Sn是等比数列{an}的前n项和,若公比q=2,则
??1+??3+??5
??61
= 2
3
( )
A.3 B.7 C.3 D.7 11.[2024安徽省示范高中名校联考]设Sn是各项均为正数的等比数列{an}的前n项和,a1=3,若 - a4,a3,a5成等差数列,则Sn与an的关系式为 .
12.[2024河南新乡一模]设Sn是数列{an}的前n项和,且a1=1,(n+1)an+1=(n - 1)Sn,则Sn= .
1
2
13.已知公比q>1的等比数列{an}满足??5=a10,2(an+an+2)=5an+1.若bn=(n - λ)an(n∈N*),且数列{bn}
是递增数列,则实数λ的取值范围是 .
14.[2024湖北部分重点中学高三测试]已知数列{an}是等比数列,Sn为数列{an}的前n项和,且a3=3,S3=9.
(1)求数列{an}的通项公式; (2)设bn=log2
15.[2024河北廊坊省级示范高中联考]在数列{an}中,a1=1,(1)证明数列{bn}是等比数列; (2)求{an}的前n项积Tn.
????+1????
3??2??+3
,且{bn}为递增数列,若cn=
4
????????+1
,求证:c1+c2+c3+…+cn<1.
=
4(??+1)2??(??+2)
,设bn=
??+1??
·an.
答案及解析
??2??4=1,??1??·??1??3=1,
1.B 解法一 由题意得q>0,a1>0,因为{所以{解得
??1+??2+??3=7,??1+??1??+??1??2=7,
??1=4,
1故选B. {
??=2,
2
解法二 由等比数列的性质得??3=a2a4=1,结合an>0,得a3=1.由a1+a2+a3=7,得??3+3+a3=7,则??2+2
1
??
??
1
=6,结合q>0,解得q=2,故选B. ??
2.B 由等比数列的性质可知,m+n=6,m∈N*,n∈N*,当m=n=3时,mn=9;当m=4,n=2时,mn=8;当m=5,n=1时,mn=5.故选B.
1
??1(1-??6)
3.B 由题意可得q≠1,且{??(1-??5)
1
1-??1-??
=9×=62,
??1(1-??3)1-??
,
即{??1(1-??5)
1-??
??3=8,
??=2,解得{故选B.
??1=2,=62,
4.D 因为等比数列{an}的各项均为正数,所以log3a1+log3a2+…+log3a12=log3(a1·a2·…·a12)=log3 (a6a7)6=12,所以(a6a7)6=312=96,所以a6a7=9,故选D.
333
5.5√2 各项均为正数的等比数列{an}中,a1a2a3=??2=5,a7a8a9=??8=10,则a4a5a6=??5=33√??2??8=5√2.
??6=11-??=30 ①,6.10 解法一 设数列{an}的公比为q(q>0且q≠1),由题意可得{①÷②,??1(1-??9)
??9==70 ②,
1-??
??(1-??6)
得
1-??61-??9
=
1+??31+??3+??6
=,结合q>0,得q3=2,由=
7
??6
3
??3
??1(1-??3)
1-????1(1-??6)1-??
=
11+??3
=,得S3=S6=10.
3
3
11
2
解法二 由题意可得(??6-??3)2=S3(S9 - S6),即(30-??3)2=40S3,即??3 - 100S3+900=0,解得S3=10或
S3=90.又数列{an}的各项均为正数,所以S3 因为数列{an}是等比数列,所以a1=1 - m满足上式,所以an=2×3n - 2,a1=2×3 - 1=1 - m,所以m=. 31 (2)bn=an+log3an=2×3n - 2+(n - 2)+log32,所以Tn=Sn+ -1+??-22 n+nlog32=3n - 1+ ??2-3??2 +nlog32 - 3. 1 8.ABC 由于等比数列{an}的各项均为正数,公比为q,且a1>1,a6+a7>a6a7+1>2,所以(a6 - 1)(a7 - 1)<0,由题意得 a6>1,a7<1,所以 0 a6a7+1>2,所以 a6a7>1,所以 T12=a1·a2·…·a11·a12=(??6??7)6>1,T13=??137<1.故选ABC. 9.A ∵Sn=pan+1+m,∴Sn - 1=pan+m(n≥2), ∴an=Sn - Sn - 1=pan+1 - pan(n≥2),∴pan+1=(p+1)an(n≥2), ∴ ????+1???? = ??+1?? (n≥2). 4-????2?? 1 又n=1时,a1=S1=pa2+m=4,∴a2=∵{an}为等比数列,∴??2= 1 ,??= 4-??4?? . ?? ??4-??4?? = ??+1?? ,∵p>0,∴p= - 4,∴m= - 4p,
2024高考数学一轮复习：等比数列及其前n项和
