1.3 空间向量及其运算的坐标表示同步练习
一、单选题
1．已知向量a?(1,?2,1)，a?b?(?1,2,?1)，则向量b?（ ）
A．(2,?4,2) 【答案】A
【解析】由已知可得b??1,?2,1????1,2,?1???2,?4,2?.故选A.
2．已知空间向量a???1,2,3?，b??3,?2,x?，若a?b，则x的值为（ ）
A．
B．(?2,4,?2)
C．(?2,0,?2)
D．(2,1,?3)
4 3 B．
7 3 C．
10 3 D．
11 3【答案】B
【解析】因为向量a???1,2,3?，b??3,?2,x?，又因为a?b，所以a?b??3?4?3x?0. 解得x=
7.故选B 33．若a??2,3,?1?，b??2,0,3?，c??0,2,2?，则a?b?c的值为（ ）
A．?4,6,?5? 【答案】B
【解析】b?c??2,0,3???0,2,2???2,2,5?，a?b?c?2?2?2?3?(?1)?5?5.故选B. 4．在空间直角坐标系O?xyz中，已知A?0,0,3?，B?0,4,3?，C?3,4,3?，则?ABC是（ ）
A．等腰三角形 【答案】D
【解析】在空间直角坐标系Oxyz中，已知A(0，0，3)，B(0，4，3)，C(3，4，3)，
B．钝角三角形
C．锐角三形
D．直角三形
B．5
C．7
D．36
?????AB?(0，4，0)，AC?(3，4，0)，BC?(3，0，0)，且AB?BC?0?3?4?0?0?0?0， ?AB?BC，∴?ABC为直角三角形；故选D．
5．已知空间向量a??1,0,1?，b??1,1,n?，a?b?3则向量a与?b（??0）的夹角为（ ）
A．
? 6 B．
?5? 或
66 C．
? 3 D．
2?? 或
33【答案】B
2?3 【解析】a?b?abcosa,b?1?n?3解得n?2，2?2?ncosa,b?代入得cosa?b ?当??0时为
?3，又向量夹角范围：?0,??，故a,b的夹角为，则a与?b的夹角，
625??.故选B. ；??0时为666．已知AB??1,?1,0?，C?0,1,?2?，若CD?2AB，则点D的坐标为（ ）
A．??2,3,?2? 【答案】D
【解析】设点D为?x,y,z?，又C?0,1,?2?，∴CD??x,y?1,z?2?，∵AB??1,?1,0?，CD?2AB，
B．?2,?3,2?
C．??2,1,2?
D．?2,?1,?2?
?x?2?∴?x,y?1,z?2???2,?2,0?，即?y??1, D点坐标 ?2,?1,?2?，故选D
?z??2?7．已知向量a??2,3,4?，b??1,?m,2?，若a//b，则m?（ ）
A．
3 2
B．?3 2 C．
10 3
D．?10 3【答案】B
?2?????2??【解析】根据a//b，有a??b，即?2,3,4????1,?m,2?，?3??m?，解得?3.故选B
m????4?2??2?8．已知向量a?(t?1,1,t),b?(t?1,t,1),则a?b的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．2 【答案】C
【解析】由向量a?(t?1,1,t),b?(t?1,t,1),所以a?b?(2,1?t,t?1)，则
D．4
a?b?4?2(t?1)2?2，当且仅当t?1时取等号，即a?b的最小值为2，故选C.
9．若向量a??1,x,2?,b??2,?1,2?, 且a,b 夹角的余弦值为,则x等于（ ）
A．2
B．-2
C．-2或
892 55
D．2或?2 55【答案】C
【解析】cosa,b?a?b6-x8??,解得x=-2或x?2.故选C. a?b5535?x2910．在空间直角坐标系中,正方体ABCD?A1B1C1D1棱长为2,E为正方体的棱AA1的中点,F为棱AB上的一点,且?C1EF?90则点F的坐标为（ ）
A．?2,??1?,0? 4?
B．?2,,0?
??13??
C．?2,??1?,0? 2?
D．?2,??2?,0? 3?【答案】C
【解析】由正方体的性质可得E?2,0,1?,C1?0,2,2?，设F?2,y,0?，则
EC1???2,2,1?,EF??0,y,?1?，因为?C1EF?90，解得y??EC1?EF?2y?1?0，
的坐标为?2,1
，则点F2
??1?,0?，故选C. 2?11．如图，在边长为2的正方体ABCD?A1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在底面ABCD上移动，且
满足B1P?D1E，则线段B1P的长度的最大值为（ ）
A．
45 5
B．2
C．22
D．3
【答案】D
【解析】如下图所示，
以点D为坐标原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系D?xyz， 则点B1?2,2,2?、D1?0,0,2?、E?1,2,0?，设点P?x,y,0??0?x?2,0?y?2?，
D1E??1,2,?2?，B1P??x?2,y?2,?2?，
D1E?B1P，?B1P?D1E?x?2?2?y?2??4?x?2y?2?0，得x?2?2y，
?0?x?2?0?2?2y?2由?，得?，得0?y?1， ?0?y?2?0?y?2?B1P??x?2?2??y?2??4?5y2?4y?8，
20?y?1，当y?1时，B1P取得最大值3.
故选D.
12．设向量u??a,b,0?，???c,d,1?，其中a2?b2?c2?d2?1，则下列判断错误的是（ ）
A．向量?与z轴正方向的夹角为定值（与c、d之值无关） B．u??的最大值为2 C．u与?夹角的最大值为D．ad?bc的最大值为l 【答案】B
【解析】由向量u?(a,b,0)，v?(c,d,1)，其中a2?b2?c2?d2?1，知： 在A中，设z轴正方向的方向向量z?(0,0,t),t?0，
3? 4向量v与z轴正方向的夹角的余弦值：cos??z?vt2??,?a?45?，
2|z|?|v|t?c2?d2?1∴向量v与z轴正方向的夹角为定值45°（与c，d之值无关），故A正确；
a2?c2b2?d2a2?b2?c2?d2在B中，u?v?ac?bd????1，
222且仅当a＝c，b＝d时取等号，因此u?v的最大值为1，故B错误； 在C中，由B可得：|u?v|?1,??1?u?v?1，
?cos?u,v??u?vac?bd12?????，
2222|u|?|v|21?2a?b?c?d?1∴u与v的夹角的最大值为
3?，故C正确； 4a2?d2b2?c2a2?b2?c2?d2在D中，ad?bc????1，
222∴ad?bc的最大值为1．故D正确．故选B．
二、填空题
13．已知在空间直角坐标系O?xyz中，点A??3,5,?2?，B??2,7,0?，则AB?______.
【答案】3 【解析】
A??3,5,?2?，B??2,7,0??AB??1,2,2??AB?12?22?22?3．故填3
14．已知向量a??1,4,3?，b???2,t,?6?，若a//b，则实数t的值为_______．
【答案】-8
【解析】向量a??1,4,3?，b???2,t,?6?， a//b，所以存在?使b??a，
??2??????2?.故填?8 ??2,t,?6????1,4,3?，即?t?4?，解得：??t??8??6?3??15．已知向量a?(1,1,0),b?(?1,0,2)，若ka?b与b互相垂直，则实数k的值是_______.
【答案】5
【解析】因为a?(1,1,0),b?(?1,0,2)，所以ka?b??k?1,k,2?，
1.3 空间向量及其运算的坐标表示同步练习
