幂函数、二次函数
11
考纲解读 1.结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝x的图象解决简单的幂函数问题；
x22.用待定系数法求二次函数解析式，结合图象解决二次函数问题；3.用二次函数、方程、不等式之间的关系解决综合问题．
[基础梳理]
1．幂函数
(1)定义：一般地，函数y＝xα叫作幂函数，其中底数x是自变量，α是常数． (2)幂函数的图象比较：
2．二次函数 (1)解析式：
一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)． 顶点式：f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)． 两根式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)． (2)图象与性质：
解析式 f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0) f(x)＝ax2＋bx＋c(a＜0) 图象 定义域 值域 (－∞，＋∞) (－∞，＋∞) ?4ac－b2，＋∞? ?4a?b－，＋∞? 在x∈??2a??－∞，4ac－b2? 4a??b－∞，－? 在x∈?2a??上单调递增 b－，＋∞? 在x∈??2a?上单调递减 单调性 上单调递增 b－∞，－? 在x∈?2a??上单调递减 奇偶性 当b＝0时为偶函数 顶点 对称性 ?－b，4ac－b2? 4a??2ab图象关于直线x＝－成轴对称图形 2a [三基自测]
12
1．已知幂函数f(x)＝k·xα的图象过点?，?，则k＋α＝( )
?22?1
A. 23C. 2答案：C
2．已知函数f(x)＝x2＋4ax在区间(－∞，6)内单调递减，则a的取值范围是( ) A．a≥3 C．a<－3 答案：D
3．幂函数f(x)＝xa2－10a＋23(a∈Z)为偶函数，且f(x)在区间(0，＋∞)上是减函数，则a等于( )
A．3 C．5 答案：C
1
4．(必修1·第一章复习参考题改编)若g(x)＝x2＋ax＋b，则g(2)与[g(1)＋g(3)]的大小关
2系为________．
1
答案：g(2)<[g(1)＋g(3)]
2
1
5．(2017·高考全国卷Ⅰ改编)函数y＝x2＋的增区间为__________．
x
B．4 D．6 B．a≤3 D．a≤－3 B．1 D．2
?1，＋∞?答案：?3?
2??
[考点例题]
考点一 幂函数的图象和性质|易错突破
[例1] (1)已知幂函数f(x)＝(2)若f(x)＝
－
，若f(a＋1) ，则满足f(x)＜0的x的取值范围是________． [解析] (1)∵f(x)＝a＋1>0，?? ∴?10－2a>0，??a＋1>10－2a， ＝ 1 (x>0)，易知x∈(0，＋∞)时为减函数，又f(a＋1) a>－1，?? 解得?a<5， ??a>3， ∴3 故a的取值范围是(3,5)． (2)令y1＝ ，y2＝ ，f(x)＜0，即为y1＜y2，函数y1＝ ，y2＝ 的图象如图所示，观察图象，当0＜x＜1时，y1＜y2，所以满足f(x)＜0的x的取值范围是(0,1)． [答案] (1)(3,5) (2)(0,1) [易错提醒] 1．分不清指数函数与幂函数，比较幂值大小时，若底数相同，指数不同可考虑指数函数；若底数不同指数相同，可考虑幂函数． 2．幂函数的单调性只与指数的正、负有关，要注意幂函数定义域． [纠错训练] 11?b?1?a 1．设＜?＜＜1，那么( ) 2?2??2?A．aa＜ab＜ba C．ab＜aa＜ba B．aa＜ba＜ab D．ab＜ba＜aa 1?x1?1?b?1?a 解析：因为y＝?是减函数，＜＜＜1，所以0＜a＜b＜1.当0＜a＜1时，y?2?2?2??2?＝ax为减函数，所以ab＜aa，排除A，B；因为y＝xa在第一象限内为增函数，所以aa＜ba.故选C. 答案：C 2．若(a＋1)2>(3－2a)2，则a的取值范围是__________． 解析：由y＝x0)上是增函数． 因为(a＋1)2>(3－2a)2， 3－2a>0，?? 所以?a＋1>0， ??3－2a>a＋1，3－2a<0，?? ?a＋1>0，??－?3－2a?>a＋1， － － －2－ － 的图象关于x轴对称知，函数y＝x －2 在(0，＋∞)上是减函数，在(－∞， 3－2a<0，?? 或?a＋1<0， ??3－2a 3－2a>0，?? 或?a＋1<0， ??3－2a>－?a＋1?， 或
高中数学幂函数考点及经典例题题型突破
