武汉大学2016-2017学年第二学期《常微分方程》期末考试

武汉大学2016-2017学年第二学期

《常微分方程》期末考试

注意事项:考试时间为两小时，闭卷考试。答题卡上写清姓名、专业、学号。试题共两页。

习题一(20’).求解下面齐次问题的解。

(1)y′′+4y′+4y=0,y(0)=1,y′(0)=3.(2)y′′+2y′+2y=0,y(0)=0,y′(0)=?1.习题二(50’).利用Laplace变换求解如下热方程初边值问题

?2u?u

(t,x)?2(t,x)=0,?t?x

u(t,0)=sint,t>0,u(0,x)=0,

x→+∞

t>0,0

0

t≥0.

limu(t,x)=0,

假设u(t,x)是有界函数并且满足上述方程(1)-(4)。给定x我们定义

??+∞{}

e?stu(t,x)dt.U(s,x)=Lu(t,x)(s,x)=

0

即L是关于t的Laplace变换。在如下的讨论中我们始终假设U的定义域为s>0以及x≥0.

(i)证明

{L

以及

x→+∞

?u

?x2

2

}

?2=L{u}?x2

limU(s,x)=0.

(ii)利用方程(1)和(3)以及(i)中结论,证明U(s,x)满足方程

?2U

(s,x)?sU(s,x)=0.?x2

(5)

(iii)证明方程(5)的通解为

U(s,x)=A(s)e

√?sx+B(s)e

√

sx,

其中A(s),B(s)为关于s的任意函数。

(iv)利用(i)中的结论证明B(s)=0.利用方程(2)求解A(s).(v)假设已知

L{

h(t,x)}(s,x)=e?√sx.

证明方程(1)-(4)的解为

u(t,x)=

??t

0

h(t?β,x)sinβdβ.

习题三(30’).假设y(t)满足非线性微分方程

y′′=f(y),

其中f(y)是一个连续函数，它不依赖于y′和t.假设F(y)满足

F′(y)=f(y).

令

E(t)=1[2

y′(t)]2

?F(y(t)).

(i)证明

d

dt

E(t)=0(ii)证明方程(6)的解y(t)满足

1[2

y′(t)]2

?F(y(t))=C,其中C为任意常数。(iii)证明由(ii)可得y(t)满足

t=±

??

√2[dyF(y)+C

]+c,其中C,c为常数。

(6)