第3讲 圆锥曲线中的综合问题
专题强化训练
y2
1.已知方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆,则实数k的取值范围是( )
2-k2k-1
x2
?1?A.?,2? ?2?
C.(1,2)
B.(1,+∞)
?1?D.?,1? ?2?
解析:选C.由题意可得,2k-1>2-k>0,
??2k-1>2-k,即?解得1
2.(2019·浙江高考冲刺卷)已知F为抛物线4y=x的焦点,点A,B都是抛物线上的点→→且位于x轴的两侧,若OA·OB=15(O为原点),则△ABO和△AFO的面积之和的最小值为( )
15565
A. B. C. D. 8242解析:选D.设直线AB的方程为:x=ty+m,
2
A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB与x轴的交点为M(m,0),
??4y=x2?,可得4y-ty-m=0, ?x=ty+m?
2
根据根与系数的关系有y1·y2=-,
4→→
因为OA·OB=15,
所以x1·x2+y1·y2=15,从而16(y1·y2)+y1·y2-15=0, 因为点A,B位于x轴的两侧, 所以y1·y2=-1,故m=4.
不妨令点A在x轴上方,则y1>0,如图所示.又F(
1
,0), 16
65y12
×=32y1
2
m111652
所以S△ABO+S△AFO=×4×(y1-y2)+×y1=y1+≥2
221632y165
, 2
652865
当且仅当y1=,即y1=时,取“=”号,所以△ABO与△AFO面积之和的最小值
32y165是
65
,故选D. 2
x2y2
3.(2019·绍兴市柯桥区高考数学二模)已知l是经过双曲线C:2-2=1(a>0,b>0)
ab的焦点F且与实轴垂直的直线,A,B是双曲线C的两个顶点,若在l上存在一点P,使∠APB=60°,则双曲线的离心率的最大值为( )
A.
23
B.3 C.2 D.3 3
解析:选A.设双曲线的焦点F(c,0),直线l:x=c, 可设点P(c,n),A(-a,0),B(a,0), 由两直线的夹角公式可得
nn-?c+ac-a?k-k??tan∠APB=??=? n?1+k·k??
?1+c-a?
PAPB2
PAPB22
=
2a|n|2a= 22n+(c-a)c2-a2|n|+|n|
2=tan 60°=3,
c2-a2
由|n|+≥2
|n|
可得3≤c2-a222
|n|·=2c-a,
|n|
,
ac-a2
2
2322
化简可得3c≤4a,即c≤a,
3即有e=≤
c23
.
a3
232222
当且仅当n=±c-a,即P(c,±c-a),离心率取得最大值. 3故选A.
4.(2019·福州质量检测)已知抛物线C:y=4x的焦点为F,准线为l.若射线y=2(x-|PQ|
1)(x≤1)与C,l分别交于P,Q两点,则=( )
|PF|
A.2 B.2 C.5 D.5
解析:选C.由题意知,抛物线C:y=4x的焦点F(1,0),准线l:x=-1与x轴的交点
??x=-1
为F1.过点P作直线l的垂线,垂足为P1,由?,得点Q的坐标为(-1,-
?y=2(x-1),x≤1?
2
2
4),所以|FQ|=25.
又|PF|=|PP1|,
|PQ||PQ||QF|25所以====5,故选C.
|PF||PP1||FF1|2
x2y2x2y2
5.(2019·鄞州中学期中)已知椭圆C1:2+2=1(a1>b1>0)与双曲线C2:2-2=1(a2
a1b1a2b2
>0,b2>0)有相同的焦点F1,F2,点P是两曲线的一个公共点,且PF1⊥PF2,e1,e2分别是两曲线C1,C2的离心率,则9e1+e2的最小值是( )
A.4 B.6 C.8 D.16
解析:选C.设焦距为2c,椭圆长轴长为2a1,双曲线实轴长为2a2,取椭圆与双曲线在一象限内的交点为P,由椭圆和双曲线的定义分别有|PF1|+|PF2|=2a1①,|PF1|-|PF2|=2a2②,因为PF1⊥PF2,所以|PF1|+|PF2|=4c③,
①+②,得|PF1|+|PF2|=2a1+2a2④,
9cc9a2a1
将④代入③得a+a=2c,则9e+e=2+2=5+2+2≥8,
a1a22a12a2
2
1
22
2
21
22
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
故9e1+e2的最小值为8.
22
x2y2
6.(2019·金华十校二模)已知双曲线2-2=1(a>0,b>0)的实轴长为42,虚轴的一
ab个端点与抛物线x=2py(p>0)的焦点重合,直线y=kx-1与抛物线相切且与双曲线的一条渐近线平行,则p=( )
A.4 B.3 C.2 D.1
解析:选A.抛物线x=2py的焦点为?0,?,所以可得b=,因为2a=42?a=22,
2?2?
2
2
?
p?
px24y2pp所以双曲线的方程为-2=1,可求得渐近线方程为y=±x,不妨设y=kx-1与y=
8p4242p?y=x-12p2?p2?2p?
x平行,则有k=.联立?42?x-x+2p=0,所以Δ=?-?-8p=0,
22??4222??x2=2py解得p=4.
7.(2019·浙江“七彩阳光”联盟高三联考)已知椭圆的方程为+=1,过椭圆中心的
94直线交椭圆于A,B两点,F2是椭圆右焦点,则△ABF2的周长的最小值为________,△ABF2的面积的最大值为________.
解析:连接AF1,BF1,则由椭圆的中心对称性可得C△ABF2=AF2
+BF2+AB=AF1+AF2+AB=6+AB≥6+4=10,
x2y2
S△ABF2=S△AF1F2≤·25·2=25.
答案:10 25
12
x2y2
8.(2019·东阳二中改编)已知椭圆C:2+2=1(a>b>0)的右顶点为A,经过原点的直线
abl交椭圆C于P,Q两点,若|PQ|=a,AP⊥PQ,则椭圆C的离心率为________.
|PQ|a解析:不妨设点P在第一象限,O为坐标原点,由对称性可得|OP|==,因为AP⊥PQ,
22|OP|13a??a所以在Rt△POA中,cos∠POA==,故∠POA=60°,易得P?,?,代入椭圆方程得
|OA|2?44?13a252222
+2=1,故a=5b=5(a-c),所以椭圆C的离心率e=. 1616b5
25
答案:
5
9.已知中心在坐标原点的椭圆与双曲线有公共焦点,且左、右焦点分别为F1,F2,这两条曲线在第一象限的交点为P,△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形.若|PF1|=10,椭圆与双曲线的离心率分别为e1,e2,则e1e2的取值范围是________.
解析:设椭圆的长轴长为2a,双曲线的实轴长为2m,则2c=|PF2|=2a-10,2m=10-2c,所以a=c+5,m=5-c,
所以e1e2=
1
×=,又由三角形的性质知2c+2c>10,由已知2c<10,2=c+55-c25-c25
2-1
2
ccc2
cc<5,所以
2cc253
2-1c5252511
?1?答案:?,+∞? ?3?
10.(2019·杭州市高考数学二模)抛物线y=2px(p>0)的焦点为F,点A,B在抛物线上,|MM1|
且∠AFB=120°,过弦AB中点M作准线l的垂线,垂足为M1,则的最大值为________.
|AB|
解析:设|AF|=a,|BF|=b,连接AF、BF, 由抛物线定义,得|AF|=|AQ|,|BF|=|BP|, 在梯形ABPQ中,2|MM1|=|AQ|+|BP|=a+b. 由余弦定理得,
|AB|=a+b-2abcos 120°=a+b+ab, 配方得,|AB|=(a+b)-ab,
2
2
2
2
2
2
2
2
?a+b?,
又因为ab≤??
?2?
132222
所以(a+b)-ab≥(a+b)-(a+b)=(a+b),
44
2
得到|AB|≥
3
(a+b). 2
1
(a+b)2
|MM1|3所以≤=,
|AB|33
(a+b)2即
|MM1|3
的最大值为. |AB|3
3
3
答案:
x2y2
11.(2019·衢州市教学质量检测)已知椭圆G:2+2=1(a>b>0)的长轴长为22,左
ab焦点F(-1,0),若过点B(-2b,0)的直线与椭圆交于M,N两点.
(1)求椭圆G的标准方程; (2)求证:∠MFB+∠NFB=π; (3)求△FMN面积S的最大值.
x2y2
解:(1)因为椭圆2+2=1(a>b>0)的长轴长为22,焦距为2,即2a=22,2c=2,
ab所以2b=2,所以椭圆的标准方程为+y=1.
2(2)证明:∠MFB+∠NFB=π,即证:kMF+kNF=0, 设直线方程MN为y=k(x+2),代入椭圆方程得: (1+2k)x+8kx+8k-2=0, 12
其中Δ>0,所以k<.
2
设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2= 8k8k-2-2,x1x2=2, 1+2k1+2k2
2
2
2
2
2
x2
2
kMF+kNF=
y1x1+1
+
y2x2+1
=
k(x1+2)k(x2+2)x1+x2+2
+=k[2+]=0.故
x1+1x2+1(x1+1)(x2+1)
∠MFB+∠NFB=π.
11
(3)S=·FB|y1-y2|=|k||x1-x2|
221
= 2
8(1-2k)k22.
(1+2k)
2
2
2
令t=1+2k, 则S=2
-t+3t-2
=2
2t2
?13?1-2?-?+, ?t4?8
2
(浙江专用)2020高考数学二轮复习专题五解析几何第3讲圆锥曲线中的综合问题专题强化训练
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