第3讲 圆锥曲线中的综合问题
专题强化训练
y2
1．已知方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是( )
2－k2k－1
x2
?1?A.?，2? ?2?
C．(1，2)
B．(1，＋∞)
?1?D.?，1? ?2?
解析：选C.由题意可得，2k－1>2－k>0，
??2k－1>2－k，即?解得1
2．(2019·浙江高考冲刺卷)已知F为抛物线4y＝x的焦点，点A，B都是抛物线上的点→→且位于x轴的两侧，若OA·OB＝15(O为原点)，则△ABO和△AFO的面积之和的最小值为( )
15565
A. B. C. D. 8242解析：选D.设直线AB的方程为：x＝ty＋m，
2
A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB与x轴的交点为M(m，0)，
??4y＝x2?，可得4y－ty－m＝0， ?x＝ty＋m?
2
根据根与系数的关系有y1·y2＝－，
4→→
因为OA·OB＝15，
所以x1·x2＋y1·y2＝15，从而16(y1·y2)＋y1·y2－15＝0， 因为点A，B位于x轴的两侧， 所以y1·y2＝－1，故m＝4.
不妨令点A在x轴上方，则y1＞0，如图所示．又F(
1
，0)， 16
65y12
×＝32y1
2
m111652
所以S△ABO＋S△AFO＝×4×(y1－y2)＋×y1＝y1＋≥2
221632y165
， 2
652865
当且仅当y1＝，即y1＝时，取“＝”号，所以△ABO与△AFO面积之和的最小值
32y165是
65
，故选D. 2
x2y2
3．(2019·绍兴市柯桥区高考数学二模)已知l是经过双曲线C：2－2＝1(a＞0，b＞0)
ab的焦点F且与实轴垂直的直线，A，B是双曲线C的两个顶点，若在l上存在一点P，使∠APB＝60°，则双曲线的离心率的最大值为( )
A.
23
B.3 C．2 D．3 3
解析：选A.设双曲线的焦点F(c，0)，直线l：x＝c， 可设点P(c，n)，A(－a，0)，B(a，0)， 由两直线的夹角公式可得
nn－?c＋ac－a?k－k??tan∠APB＝??＝? n?1＋k·k??
?1＋c－a?
PAPB2
PAPB22
＝
2a|n|2a＝ 22n＋（c－a）c2－a2|n|＋|n|
2＝tan 60°＝3，
c2－a2
由|n|＋≥2
|n|
可得3≤c2－a222
|n|·＝2c－a，
|n|
，
ac－a2
2
2322
化简可得3c≤4a，即c≤a，
3即有e＝≤
c23
.
a3
232222
当且仅当n＝±c－a，即P(c，±c－a)，离心率取得最大值. 3故选A.
4．(2019·福州质量检测)已知抛物线C：y＝4x的焦点为F，准线为l.若射线y＝2(x－|PQ|
1)(x≤1)与C，l分别交于P，Q两点，则＝( )
|PF|
A.2 B．2 C.5 D．5
解析：选C.由题意知，抛物线C：y＝4x的焦点F(1，0)，准线l：x＝－1与x轴的交点
??x＝－1
为F1.过点P作直线l的垂线，垂足为P1，由?，得点Q的坐标为(－1，－
?y＝2（x－1），x≤1?
2
2
4)，所以|FQ|＝25.
又|PF|＝|PP1|，
|PQ||PQ||QF|25所以＝＝＝＝5，故选C.
|PF||PP1||FF1|2
x2y2x2y2
5．(2019·鄞州中学期中)已知椭圆C1：2＋2＝1(a1＞b1＞0)与双曲线C2：2－2＝1(a2
a1b1a2b2
＞0，b2＞0)有相同的焦点F1，F2，点P是两曲线的一个公共点，且PF1⊥PF2，e1，e2分别是两曲线C1，C2的离心率，则9e1＋e2的最小值是( )
A．4 B．6 C．8 D．16
解析：选C.设焦距为2c，椭圆长轴长为2a1，双曲线实轴长为2a2，取椭圆与双曲线在一象限内的交点为P，由椭圆和双曲线的定义分别有|PF1|＋|PF2|＝2a1①，|PF1|－|PF2|＝2a2②，因为PF1⊥PF2，所以|PF1|＋|PF2|＝4c③，
①＋②，得|PF1|＋|PF2|＝2a1＋2a2④，
9cc9a2a1
将④代入③得a＋a＝2c，则9e＋e＝2＋2＝5＋2＋2≥8，
a1a22a12a2
2
1
22
2
21
22
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
故9e1＋e2的最小值为8.
22
x2y2
6．(2019·金华十校二模)已知双曲线2－2＝1(a＞0，b＞0)的实轴长为42，虚轴的一
ab个端点与抛物线x＝2py(p＞0)的焦点重合，直线y＝kx－1与抛物线相切且与双曲线的一条渐近线平行，则p＝( )
A．4 B．3 C．2 D．1
解析：选A.抛物线x＝2py的焦点为?0，?，所以可得b＝，因为2a＝42?a＝22，
2?2?
2
2
?
p?
px24y2pp所以双曲线的方程为－2＝1，可求得渐近线方程为y＝±x，不妨设y＝kx－1与y＝
8p4242p?y＝x－12p2?p2?2p?
x平行，则有k＝.联立?42?x－x＋2p＝0，所以Δ＝?－?－8p＝0，
22??4222??x2＝2py解得p＝4.
7．(2019·浙江“七彩阳光”联盟高三联考)已知椭圆的方程为＋＝1，过椭圆中心的
94直线交椭圆于A，B两点，F2是椭圆右焦点，则△ABF2的周长的最小值为________，△ABF2的面积的最大值为________．
解析：连接AF1，BF1，则由椭圆的中心对称性可得C△ABF2＝AF2
＋BF2＋AB＝AF1＋AF2＋AB＝6＋AB≥6＋4＝10，
x2y2
S△ABF2＝S△AF1F2≤·25·2＝25.
答案：10 25
12
x2y2
8．(2019·东阳二中改编)已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的右顶点为A，经过原点的直线
abl交椭圆C于P，Q两点，若|PQ|＝a，AP⊥PQ，则椭圆C的离心率为________．
|PQ|a解析：不妨设点P在第一象限，O为坐标原点，由对称性可得|OP|＝＝，因为AP⊥PQ，
22|OP|13a??a所以在Rt△POA中，cos∠POA＝＝，故∠POA＝60°，易得P?，?，代入椭圆方程得
|OA|2?44?13a252222
＋2＝1，故a＝5b＝5(a－c)，所以椭圆C的离心率e＝. 1616b5
25
答案：
5
9．已知中心在坐标原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左、右焦点分别为F1，F2，这两条曲线在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形．若|PF1|＝10，椭圆与双曲线的离心率分别为e1，e2，则e1e2的取值范围是________．
解析：设椭圆的长轴长为2a，双曲线的实轴长为2m，则2c＝|PF2|＝2a－10，2m＝10－2c，所以a＝c＋5，m＝5－c，
所以e1e2＝
1
×＝，又由三角形的性质知2c＋2c>10，由已知2c<10，2＝c＋55－c25－c25
2－1
2
ccc2
cc<5，所以
2cc253
2－1c5252511
?1?答案：?，＋∞? ?3?
10．(2019·杭州市高考数学二模)抛物线y＝2px(p＞0)的焦点为F，点A，B在抛物线上，|MM1|
且∠AFB＝120°，过弦AB中点M作准线l的垂线，垂足为M1，则的最大值为________．
|AB|
解析：设|AF|＝a，|BF|＝b，连接AF、BF， 由抛物线定义，得|AF|＝|AQ|，|BF|＝|BP|， 在梯形ABPQ中，2|MM1|＝|AQ|＋|BP|＝a＋b. 由余弦定理得，
|AB|＝a＋b－2abcos 120°＝a＋b＋ab， 配方得，|AB|＝(a＋b)－ab，
2
2
2
2
2
2
2
2
?a＋b?，
又因为ab≤??
?2?
132222
所以(a＋b)－ab≥(a＋b)－(a＋b)＝(a＋b)，
44
2
得到|AB|≥
3
(a＋b)． 2
1
（a＋b）2
|MM1|3所以≤＝，
|AB|33
（a＋b）2即
|MM1|3
的最大值为. |AB|3
3
3
答案：
x2y2
11．(2019·衢州市教学质量检测)已知椭圆G：2＋2＝1(a＞b＞0)的长轴长为22，左
ab焦点F(－1，0)，若过点B(－2b，0)的直线与椭圆交于M，N两点．
(1)求椭圆G的标准方程； (2)求证：∠MFB＋∠NFB＝π； (3)求△FMN面积S的最大值．
x2y2
解：(1)因为椭圆2＋2＝1(a＞b＞0)的长轴长为22，焦距为2，即2a＝22，2c＝2，
ab所以2b＝2，所以椭圆的标准方程为＋y＝1.
2(2)证明：∠MFB＋∠NFB＝π，即证：kMF＋kNF＝0， 设直线方程MN为y＝k(x＋2)，代入椭圆方程得： (1＋2k)x＋8kx＋8k－2＝0， 12
其中Δ＞0，所以k＜.
2
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝ 8k8k－2－2，x1x2＝2， 1＋2k1＋2k2
2
2
2
2
2
x2
2
kMF＋kNF＝
y1x1＋1
＋
y2x2＋1
＝
k（x1＋2）k（x2＋2）x1＋x2＋2
＋＝k[2＋]＝0.故
x1＋1x2＋1（x1＋1）（x2＋1）
∠MFB＋∠NFB＝π.
11
(3)S＝·FB|y1－y2|＝|k||x1－x2|
221
＝ 2
8（1－2k）k22.
（1＋2k）
2
2
2
令t＝1＋2k， 则S＝2
－t＋3t－2
＝2
2t2
?13?1－2?－?＋， ?t4?8
2
(浙江专用)2020高考数学二轮复习专题五解析几何第3讲圆锥曲线中的综合问题专题强化训练
