第9讲 函数模型及其应用
一、知识梳理
1．几种常见的函数模型
函数模型 一次函数模型 二次函数模型 指数函数模型 函数解析式 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0) f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数， a>0且a≠1，b≠0) f(x)＝blogax＋c (a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0) f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0，n≠0) 对数函数模型 幂函数模型 2.三种函数模型性质比较 在(0，＋∞) 上的单调性 增长速度 图象的变化 常用结论 y＝ax(a>1) 增函数 越来越快 y＝logax(a>1) 增函数 越来越慢 y＝xn(n>0) 增函数 相对平稳 随n值变化而不同 随x值增大，图象与y随x值增大，图象与x轴接近平行 轴接近平行 a
“对勾”函数f(x)＝x＋(a>0)的性质
x
(1)该函数在(－∞，－a]和[a，＋∞)上是增加的，在[－a，0)和(0，a ]上是减少的． (2)当x>0时，x＝a时取最小值2a； 当x<0时，x＝－a时取最大值－2a. 二、教材衍化
某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计图如图所示，则下列说法中错误的是( )
A．收入最高值与收入最低值的比是3∶1 B．结余最高的月份是7月
C．1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同 D．前6个月的平均收入为40万元 答案：D
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)幂函数增长比一次函数增长更快．( )
(2)在(0，＋∞)内，随着x的增大，y＝ax(a>1)的增长速度会超过并远远大于y＝xα(α>0)的增长速度．( )
(3)指数型函数模型，一般用于解决变化较快，短时间内变化量较大的实际问题．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√ 二、易错纠偏
常见误区(1)忽视实际问题中实际量的单位、含义、范围等； (2)建立函数模型出错．
1．某城市客运公司确定客票价格的方法是：如果行程不超过100 km，票价是0.5元/km，如果超过100 km，超过100 km的部分按0.4元/km定价，则客运票价y(元)与行驶千米数x(km)之间的函数关系式是 ．
解析：由题意可得
??0.5x，0 ?0.4x＋10，x>100? 2．生产一定数量商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为 1 C(x)＝x2＋2x＋20(万元)．一万件售价为20万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为 2万件． 1 解析：设利润为L(x)，则利润L(x)＝20x－C(x)＝－(x－18)2＋142，当x＝18 时，L(x)有最大值． 2答案：18 用函数图象刻画变化过程(师生共研) 汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在 不同速度下的燃油效率情况．下列叙述中正确的是( ) A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米 B．以相同速度行驶相同的路程，三辆汽车中，甲车消耗汽油量最多 C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油 D．某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该城市用丙车比用乙车更省油 【解析】 根据图象知消耗1升汽油，乙车最多行驶里程大于5千米，故选项A错；以相同速度行驶时，甲车燃油效率最高，因此以相同速度行驶相同路程时，甲车消耗汽油最少，故选项B错；甲车以80千米/小时的速度行驶时燃油效率为10千米/升，行驶1小时，里程为80千米，消耗8升汽油，故选项C错；最高限速80千米/小时，丙车的燃油效率比乙车高，因此相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油，故选项D对． 【答案】 D 判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的方法 (1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象． (2)验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择符合实际情况的答案． (2020·广州市综合检测(一))如图，一高为H且装满水的鱼缸，其底部装有一排水小 孔，当小孔打开时，水从孔中匀速流出，水流完所用时间为T. 若鱼缸水深为h时，水流出所用时间为t，则函数h＝f(t)的图象大致是( ) 解析：选B.水位由高变低，排除C，D.半缸前下降速度先快后慢，半缸后下降速度先慢后快，故选B. 二次函数、分段函数、“对勾”函数模型(师生共研) 小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子产品需投 入年固定成本为3万元，每生产x万件，需另投入流动成本为W(x)万元，在年产量不足8万件时，W(x)1100 ＝x2＋x(万元)．在年产量不小于8万件时，W(x)＝6x＋－38(万元)．每件产品售价为5元．通过市场3x分析，小王生产的商品能当年全部售完． (1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式；(注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本) (2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？ 【解】 (1)因为每件商品售价为5元，则x万件商品销售收入为5x万元， 依题意得，当0 12?1 x＋x－3＝－x2＋4x－3； L(x)＝5x－??3?3 100100 6x＋－38?－3＝35－?x＋?. 当x≥8时，L(x)＝5x－?xx????1 －x2＋4x－3，0 所以L(x)＝ 100?35－??x＋x?，x≥8. ??? 1 (2)当0 3 此时，当x＝6时，L(x)取得最大值L(6)＝9万元． 100 x＋?≤35－2 当x≥8时，L(x)＝35－?x??即x＝10时，L(x)取得最大值15万元． 因为9<15，所以当年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润为15万 100100 x·＝35－20＝15，当且仅当x＝时等号成立， xx 元． 建模解决实际问题的三个步骤 (1)建模：抽象出实际问题的数学模型． (2)推理、演算：对数学模型进行逻辑推理或数学演算，得到问题在数学意义上的解． (3)评价、解释：对求得的数学结果进行深入的讨论，作出评价、解释，返回到原来的实际问题中去，得到实际问题的解． 即： [提醒] (1)构建函数模型时不要忘记考虑函数的定义域． b (2)利用模型f(x)＝ax＋求解最值时，注意取得最值时等号成立的条件． x 1．某养殖场需定期购买饲料，已知该养殖场每天需要饲料200千克，每千克饲料的价格为1.8元，饲料的保管费与其他费用平均每千克每天0.03元，购买饲料每次支付运费300元．则该养殖场多少天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少． 解：设该养殖场x(x∈N＋)天购买一次饲料能使平均每天支付的总费用最少，设总费用为y元． 因为饲料的保管费与其他费用每天比前一天少200×0.03＝6(元)，所以x天饲料的保管费与其他费用共是6(x－1)＋6(x－2)＋…＋6＝(3x2－3x)元． 1300 从而有y＝(3x2－3x＋300)＋200×1.8＝＋3x＋357≥2 xx 300300 ·3x＋357＝417，当且仅当＝3x，xx 即x＝10时，y有最小值．故该养殖场10天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少． 2．据气象中心观察和预测：发生于沿海M地的台风一直向正南方向移动，其移动速度v(km/h)与时间t(h)的函数图象如图所示，过线段OC上一点T(t，0)作横轴的垂线l，梯形OABC在直线l左侧部分的面积即为时间t(h)内台风所经过的路程s(km)． (1)当t＝4时，求s的值； (2)将s随t变化的规律用数学关系式表示出来； (3)若N城位于M地正南方向，且距M地650 km，试判断这场台风是否会侵袭到N城，如果会，在台风发生后多长时间它将侵袭到N城？如果不会，请说明理由．
2021版高考文科数学(北师大版)一轮复习教师用书：第二章 第9讲 函数模型及其应用
