第2章 圆锥曲线 2.3 柱面与平面的截面 2.4 平面截圆锥面学业分
层测评 北师大版选修4-1
(建议用时：45分钟)
学业达标]
一、选择题
1.圆锥的顶角为50°，圆锥的截面与轴线所成的角为30°，则截线是( ) A.圆 C.双曲线
B.椭圆 D.抛物线
50°
【解析】 由已知α＝＝25°，β＝30°，∴β>α.故截线是椭圆.
2【答案】 B
2.一圆柱面被一平面所截，平面与母线成60°角，截线上最长的弦长为43，则该圆柱底面的半径为( )
A.3 C.3
B.23 D.6
【解析】 圆柱底半径r＝23sin60°＝3. 【答案】 C
3.已知圆锥母线与轴夹角为60°，平面π与轴夹角为45°，则平面π与圆锥交线的离心率是( )
A.2 2
B.2 3
C.2 D.22
【解析】 由题意，θ＝45°，σ＝60°，由θ<σ知，平面π与圆锥面的交线为双cos45°
曲线，双曲线的离心率为e＝＝2.
cos60°
【答案】 C
4.已知半径为2的圆柱面，一平面与圆柱面的轴线成45°角，则截线椭圆的焦距为( )
A.22 C.4
【解析】 由2a＝
2r＝42，
sin 45°
2
2
B.2 D.42
∴a＝22，b＝2，∴c＝a－b＝2，故焦距为4.
6
【答案】 C
5.已知圆锥面的轴截面为等腰直角三角形，用一个与轴线成30°角的不过圆锥顶点的平面去截圆锥面时，所截得的截线的离心率为( )
A.6 2
B.D.6 32 2
3C. 2
【解析】 ∵圆锥的轴截面为等腰直角三角形，所以母线与轴线的夹角σ＝45°；又截面与轴线的夹角θ＝30°，即θ＜σ，
cos θcos 30°36
∴截线是双曲线，其离心率e＝＝＝＝.
cos σcos 45°22【答案】 A 二、填空题
6.已知圆锥面的母线与轴成44°角，用一个与轴线成44°角的不过圆锥顶点的平面去截圆锥面时，所截得的交线是________.
【导学号：96990049】
【解析】 根据平面截圆锥面定理知，交线为抛物线. 【答案】 抛物线
7.已知圆柱底面半径为b，平面α与圆柱母线夹角为30°，在圆柱与平面交线上有一点P到一准线l1的距离是3b，则点P到另一准线l2对应的焦点F1的距离是__________.
【解析】 由题意知，椭圆短轴为2b，长轴长2a＝∴c＝4b－b＝3b. ∴e＝
3b33
＝(或e＝cos30°＝). 2b22
2
2
2b＝4b，
sin30°
设P到F1的距离为d，则3∴d＝b.
2
又PF1＋PF2＝2a＝4b，
d3b＝
3， 2
35
∴PF2＝4b－PF1＝4b－b＝b.
22
8.已知圆柱面轴线上一点O到圆柱的同一条母线上两点A，B的距离分别为2和32，且∠AOB＝45°.则圆柱面内切球的半径是__________.
【解析】 如图所示为圆柱面的轴截面.
6
依题意，OA＝2，OB＝32，∠AOB＝45°，
∴AB＝OA＋OB－2OA·OBcos 45°＝4＋18－2×2×32×∴AB＝10.
设内切球的半径为r，则
2
2
2
2
＝10， 2
S△AOB＝·AB·r＝
1210r. 2
1110310
又∵S△OAB＝OA·OBsin∠AOB＝×2×32sin 45°＝3，∴r＝3，∴r＝，
2225310
即圆柱面内切球半径为.
5三、解答题
9.如图2-3-6，已知PF1∶PF2＝1∶3，AB＝12，G1G2＝20，求PQ.
图2-3-6
【解析】 设椭圆长轴为2a，短轴为2b，焦距为2c.
c422
由已知可得a＝10，b＝6，c＝a－b＝8，e＝＝.
a5
由椭圆定义PF1＋PF2＝K1K2＝G1G2＝20. 又∵PF1∶PF2＝1∶3， ∴PF1＝5，PF2＝15. 由离心率定义， ∴
PF14＝. PQ5
25∴PQ＝. 4
10.如图2-3-7，圆柱被平面α所截.已知AC是圆柱口在平面α上最长投影线段，BD是最短的投影线段，EG＝FH，EF⊥AB，垂足在圆柱的轴上，EG和FH都是投影线，分别与平面α交于点G，H.
6
图2-3-7
(1)比较EF，GH的大小；
(2)若圆柱的底面半径为r，平面α与母线的夹角为θ，求CD. 【解】 (1)∵EG和FH都是投影线， ∴EG∥FH又EG＝FH， ∴四边形EFHG是平行四边形， ∴EF＝GH.
(2)如题图，过点D作DP⊥AC于点P， 则在Rt△CDP中，有：sin∠DCP＝， 2r又∠DCP＝θ，DP＝2r，∴CD＝.
sin θ能力提升]
1.如图2-3-8所示，球O与圆柱的上、下底面以及侧面均相切，用一平面去截圆柱的球，得到的截面图有可能是( )
DPCD
图2-3-8
A.①②④ C.②③④
B.①②③ D.①②③④
【解析】 如图所示，AB为圆柱的轴，当平面与AB垂直且过AB中点时，截得的图形是图①；当平面与AB垂直不过AB中点时，截得的图形是两个同心圆，是图②；当平面经过轴AB时，截得的图形是图③；当平面与轴
AB不垂直且平面与圆柱的侧面有交线时，截得的图形是图④，故有可能的
6
图形是①②③④.
【答案】 D
2.在阳光照射下，地面上篮球的影子是个椭圆，如图2-3-9所示，则篮球与地面的接触点是椭圆的一个__________.
图2-3-9
【解析】 如图，作篮球与影子的纵截面图，M为球心，D为篮球与地面的接触点，易知MD⊥A1A2，MD＝b.因为光线EA1∥FA2，且EA1，
FA2，A1A2均与圆M相切，所以∠MA1D＋∠MA2D＝90°，所以
∠A1MA2＝90°，于是MO＝A1O＝A2O＝a.于是OD＝MO－MD＝
2
2
a2－b2＝c，所以D是椭圆的一个焦点.
【答案】 焦点
3.如图2-3-10，已知两焦点的距离F1F2＝2c，两端点G1G2＝2a. 求证：l1与l2之间的距离为
2a2
c.
图2-3-10
【证明】 设椭圆上任意一点P，过P作PQ1⊥l1于Q1，过P作PQ2⊥l2于Q2. ∵e＝
PF1PF2c＝＝， PQ1PQ2acaca∴PF1＝PQ1，PF2＝PQ2. 由椭圆定义PF1＋PF2＝2a， ∴PQ1＋PQ2＝2a.
caca 6
2016-2017学年高中数学 第2章 圆锥曲线 2.3 柱
