闭环零点对二阶系统动态响应的影响
摘要：
实际工作过程中常常把一个高阶系统降为二阶系统来处理，因此分析二阶系统的单位阶跃响应，对于研究自动控制系统的动态特性有重要意义。二阶系统的动态特性受阻尼比和角频率
wn的影响，同时二阶系统的零点位置也对其系统的动态特性有影响。
本文是通过对二阶系统的时域响应来分析系统的动态性能的。通过对设零点系统与未设零点系统上升时间、最大超调量、调节时间暂态特性各个方面的对比，以及零点位置的变化对各动态性能变化趋势和??n的变化对实际二阶系统的作用效果。 关键字：二阶系统 动态参数 根轨迹 零点 ??n
0引言
系统设计和实际工作中常要求系统稳定，欠阻尼振荡的二阶系统在实际中可以看成是稳定的系统，因此分析欠阻尼系统具有实际意义。。二阶系统的动态特性受阻尼比和角频率wn的影响，所以研究??n变化时系统的动态性能的变化对系统的设计和应用有重要意义。我们在实际生产过程中，二阶系统总是需要满足工程最佳参数的要求，但是通过改变开环放大系数的方法可能会增大系统稳态误差。因此需要通过设置零点的方法从而达到既满足工程所需的阻尼比，又保证系统稳态精度的目的。正是由于闭环零点对二阶系统如此重要，所以此文主要分析闭环零点对二阶系统动态品质的影响。[1]
1 二阶系统的时域分析：
系统的阶次是由其最简闭环传递函数分母S的最高次项决定的。二阶系统就是S的最高次项为2的闭环传递函数所对应的系统典型。 1.1 结构图
x(s)rw kx(s)c
图1.1结构图
由上图可知
w(s)?bw1?wk (1-1）
k二阶系统开环传递函数用零极点方式表示：
wk(s)?k(s?z)(s?p)(s?p)12 (1-2)
1.2 二阶系统的分析：：
二阶系统的响应特性完全可以由阻尼比?和自然频率一般形式的闭环方程为
2?n wb(s)?2 (1-3) 2s?2??ns??n2?0. 特征方程为s2?2??ns??n?n两个参数确定。
方程的特征根(系统闭环极点)为s1,2????n??n?2?1 (1-4) (1)当?>1时，方程有两个负实根，系统处于过阻尼状态。系统特点：系统无振荡无超调的单调上升过程，随着?的增大，衰减越快系统的响应越慢。 (2)当??1时，系统有一对相等的负实根，处于临界稳定状态。动态特性类似于过阻尼状态。但衰减速度慢，响应速度变快。
(3)当阻尼比较小，即0???1时，方程有一对实部为负的共轭复根。系统处于欠阻尼状态。系统动态特点：有振荡有超调，且?越大系统超调量越小，系统越稳定。
(4)当?=0时，系统处于无阻尼状态。特点为：等幅振荡，系统部稳定。
所有情况如下图所示：
图1-2
[2]
1.3 二阶系统欠阻尼状态的动态参数:
(1) 上升时间： tr?????1????1??22w (1-5)
n(2)超调量： ?%?e?100% (1-6) 3(3)调节时间： ts(5%)??wn (1-7)
2 系统有无零点时对系统的影响：
假设系统稳定，则闭环传递函数的所有极点都在s平面的左半平面，且忽略负载效应对二阶系统的影响，则系统闭环极点也是开环传递函数的极点。 2.1 无零点系统;
开环传递函数：m o?180（1?2u）??n?mImaginary AxisImaginary Axisk(s?1g2p)(s?p)?3N(s) (2-1) D(s)Root LocusRoot Locus21 -1-20(2-2) 会合点和分离点： -3-6-5-4-3Real Axis-2Real Axis-101'D（s）N(s)?N'(s)D(s)?0 (2-3) 图2-1 无零点二阶系统的 根轨迹 从图可看出：随着kg的增大，?减小，wn增大，由公式(1-6)超调量增大，但?w不变由公式(1-4)(1-5)知系统的速度不变。 n2.2 有零点的二阶系统： 开环系统的传递 wk(s)?k(s?z) （2-4） (s?p)(s?p)12Root LocusRoot Locus1086420-2-4-6-8-10-40当零点在亮极点之间时，系统的根轨迹如图： 2.2.1 有零点系统的分析 设圆弧与负实轴的右交点处为k1；由原点引出 AxisryaxingarmIiis AynaImag的与圆弧的切点处为k2，小圆弧切点处?为?1，大圆切点处为?2；圆弧与负实轴的左交点处为k3。 -35-30-25-20-15Real AxisReal Axis-10-505图2-2有零点的二阶系统的根轨迹 (1)当kg (2) 当kg=k1时，有两个相等的负实根。处于临界阻尼状态，单调过程速度比过阻尼快。 (3) 当k1 (4)当kg=k2时，?最小，?%取最大值。 (5)当k2 (1)当??n不变的情况下，零点离虚轴越近，根轨迹的圆越小，?越大，系统稳定性越好，零点对系统的影响越的大。当零点趋向于无穷大时，根轨迹越来越趋近于无零点时的?90o的渐进线. (2)当Z不变，??n增大，ts减小，引起极点的变化。当极点和零点的位置如图2-3所示，零点趋近于圆的圆心。系统的动态品质变好。当极点和零点位置如图2-4和图2-5时，所有的特征根都在实轴上，则?>1，无振荡无超调。当极点和零点位置图图2-6所示，零点和一极点重合，二阶系统降阶为无振荡无超调的一阶系统。 如图2-7当?不变时，wn影响振荡周期，wn越大，周期越小；当wn不变时 ?越大，超调量越大，同时调节时间越小速度越快。 Root LocusRoot Locus Root Locus60.80.640.4Imaginary AxisImaginary Axis2Imaginary Axis0.200-0.2-2-0.4-4-0.6-6-25-20-15-10Real AxisReal Axis图2-3 -505-14-12-10-8Real Axis-6-4-202图2-5 Root Locus0.8Root Locus0.80.60.60.40.4Imaginary AxisImaginary Axis0.20.200-0.2-0.2-0.4-0.4-0.6-0.6-0.8-18-16-14-12-10-8Real Axis-6-4-202-0.8-16-14-12-10-8-6-4-202图2-6 图2-4 Real Axis 3结束语 由无零点系统和有零点系统的根轨迹的分析可得出： 无零点系统的根轨迹是一条平行于虚轴的垂线，特征根靠近虚轴，动态品质指标较差；如果引进零点，且零点情况类似于图2-3，则轨迹随着kg值增大，将沿圆弧向左变化，于是动态品质指标得到显著改善。无零点的上升时间ts只与阻尼ξ和振荡角频率wn有关，而在具有零点的二阶系统中， 上升时间还与零点的实部有关，反映到图像上，即零点离虚轴越近上升时间越小。 ξwn由r?可知，r值越大，振荡性就越强。最大超调量σ%也与零点的位置有关， zz值越小，φ值越大，影响tm的值变小。调节时间ts(5%)?3只与阻尼ξ和振ξwn1.510.5002468101214161820图2-7 荡角频率wn有关，所以不受零点位置的影响，[3]但当零点的位置类似于其他三种情况是，则系统动态指标类似于一阶系统，系统无振荡，无超调情况。由此可知，正向通道内引进零点，将能改善系统品质。 参考文献： [1]俞学兰，线性二阶系统性能的MATLAB仿真，[J],Equipment Manufactring Technology,No 8,2009 [2] 齐书康 袁坤，论闭环零点对二阶系统单位阶跃响应的影响,[J],自控论文，2010-10-9 [3] 刘宪林，二阶系统时域与开环频域性能指标间的解析关系[J],第三届高等学校电气工程及其自动化专业教学改革研讨会论文集，2005年 [4] 王建辉 顾树生，自动控制系统的根轨迹 [M]. 《自动控制原理》,北京清华大学出版社，2007-4 [5]丁红，根轨迹[M],《自动控制》，2010-03-17
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