数学试卷
中国教育学会中学数学教学专业委员会
2019年全国初中数学竞赛九年级预赛试题
(本卷满分120分,考试时间120 分钟)
一、选择题(本大题共6个小题,每小题5分,共30分)
在下列各小题中,均给出四个答案,其中有且只有一个正确答案,请将正确答案的字母代号填入题后的括号里,不填、多填或错填均为零分.
1. 从长度是2cm,2cm,4cm,4cm的四条线段中任意选三条线段,这三条线段能够组成等腰三角形的概率是( )
A 111A. B. C. D.1
4232.如图,M是△ABC的边BC的中点,AN平分∠BAC,AN⊥BN
N 于N,且AB=10,BC=15,MN=3,则△ABC的周长为( ) B C
M A.38 B.39 C.40 D. 41 (第2题图)
x3.已知xy?1,且有5x2?2011x?9?0,9y2?2011y?5?0,则的值等于( )
y5920112011 B. C.? D.? 95594.已知直角三角形的一直角边长是4,以这个直角三角形的三边 A.
为直径作三个半圆(如图所示),已知两个月牙形(带斜线的阴 影图形)的面积之和是10,那么以下四个整数中,最接近图 中两个弓形(带点的阴影图形)面积之和的是( ) A.6 B. 7 C.8 D.9 5.设a,b,c是△ABC的三边长,二次函数y?(a?)x2?cx?a?值?b,则△ABC是( )
(第4题图) b2b在x?1时取最小285A.等腰三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.直角三角形 6.计算机中的堆栈是一些连续的存储单元,在每个堆栈中数据的存入、取
出按照“先进后出”的原则,如图,堆栈(1)中的2个连续存储单元 已依次存入数据b,a,取出数据的顺序是a,b;堆栈(2)的3个 连续存储单元已依次存入数据e,d,c,取出数据的顺序是c,d,
b a e d c e,现在要从这两个堆栈中取出5个数据(每次取出1个数据),则不
同顺序的取法的种数有( )
A.5种 B.6种 C.10种 D.12种
(1) (2)
(第5题图)
数学试卷
二、填空题(本大题共6个小题,每小题5分,共30分)
7.若x2?2x?1?4?0,则满足该方程的所有根之和为 .
8.(人教版考生做)如图A,在 ABCD中,过A,B,C三点的圆交AD于E,且与CD相切,若AB=4,BE=5,则DE的长为 .
8.(北师大版考生做)如图B,等边三角形ABC中,D,E分别为AB,BC边上的两个动点,且总使AD=BE,AE与CD交于点F,AG⊥CD于点G,则
2FG? . AF2a4?3xa2?229.已知a?a?1?0,且3,则x? . ??23a?2xa?a10.元旦期间,甲、乙两人到特价商店购买商品,已知两人购买商品的件数相同,且每件商品的单价只有8元和9元两种.若两人购买商品一共花费了172元,则其中单价为9元的商品有 件.
11.如图,已知电线杆AB直立于地面上,它的影子恰好照在土坡的坡面CD和地面BC上,如果CD与地面成45o,∠A=60o,CD=4m,BC=(46?22)m,则电线杆AB的长为 m.
12.实数x与y,使得x?y,x?y,xy,
x四个数中的三个有相同的数值,则所有具y有这样性质的数对(x,y)为 .
E A (第8题图A)
FD C CEA D B C (第11题图)
B GAD
(第8题图B)
B三、解答题(本大题共3个小题,每小题20分,共60分) 13.(本题满分20分)
已知:(x?a)(x?b)?(x?b)(x?c)?(x?c)(x?a)是完全平方式. 求证: a?b?c.
数学试卷
14.(本题满分20分)如图,将OA = 6,AB = 4的矩形OABC放置在平面直角坐标系中,动点M,N以每秒1个单位的速度分别从点A,C同时出发,其中点M沿AO向终点O运动,点N沿CB向终点B运动,当两个动点运动了t秒时,过点N作NP⊥BC,交OB于点P,连接MP.
(1)点B的坐标为 ;用含t的式子表示点P的坐标为 ; (2)记△OMP的面积为S,求S与t的函数关系式(0 < t < 6);并求t为何值时,S有
最大值?
(3)试探究:当S有最大值时,在y轴上是否存在点T,使直线MT把△ONC分割成
三角形和四边形两部分,且三角形的面积是△ONC面积的的坐标;若不存在,请说明理由. y
CNB1?若存在,求出点T3yCBPOMAxO(备用图) Ax(第14题图)
数学试卷
15.(本题满分20分)
对于给定的抛物线y?x2?ax?b,使实数p,q适合于ap?2(b?q). (1)证明:抛物线y?x2?px?q通过定点;
(2)证明:下列两个二次方程,x2?ax?b?0与x2?px?q?0中至少有一个方程有实数根.
数学试卷
2019年九年级试卷参考答案
一、选择题(每小题5分,共30分)1—6 C D B A D C 二、填空题(每小题5分,共30分): 7. 2?6; 8. A:
116;B: ; 9. 4; 10. 12; 11. 62; 12. 5211(,?1)(?,?1).
22三、解答题:(每题20分,共60分)
13. 证明:把已知代数式整理成关于x的二次三项式,得
原式=3x2+2(a+b+c)x+ab+ac+bc ∵它是完全平方式, ∴△=0.
即4(a+b+c)2-12(ab+ac+bc)=0. ∴ 2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ca=0,
?a?b?0?(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=0.要使等式成立,必须且只需:?b?c?0
?c?a?0? 解这个方程组,得a?b?c.
14. 解:(1)(6,4);(t,t).(其中写对B点得1分) ··· ………………………………3分
(2)∵S△OMP =
2312×OM×t, 23212112∴S =×(6 -t)×t=?t+2t =?(t?3)?3(0 < t <6).
3332∴当t?3时,S有最大值.…………………………………………8分
(3)存在.
由(2)得:当S有最大值时,点M、N的坐标分别为:M(3,0),N(3,4), 则直线ON的函数关系式为:y?4x.
3 设点T的坐标为(0,b),则直线MT的函数关系式为:y??bx?b,
33b?4?x?y?x解方程组?得??4?b?3???y?4b?y??bx?b??4?b?3?
∴直线ON与MT的交点R的坐标为(∵S△OCN =
3b4b,). 4?b4?b11×4×3=6,∴S△ORT = S△OCN =2. ··················· …………………10分 23一、当点T在点O、C之间时,分割出的三角形是△OR1T1,
2019年全国初中数学竞赛九年级预赛试题及答案
![](/skin/haowen/images/icon_star.png)
![](/skin/haowen/images/icon_star.png)
![](/skin/haowen/images/icon_star.png)
![](/skin/haowen/images/icon_star.png)