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一、选择题
1．已知α(0＜α＜2π)的正弦线和余弦线长度相等，且符号相同，那么α的值为( )
3ππ
A.4或4 π5πC.4或4
5π7πB.4或4 π7πD.4或4
【解析】 由题意α的终边为一、三象限的平分线，且0＜α＜2π，故得απ5＝4或4π.
【答案】 C 2．下列四个命题中：
①α一定时，单位圆中的正弦线一定； ②单位圆中，有相同正弦线的角相等； ③α和α＋π有相同的正切线；
④具有相同正切线的两个角终边在同一条直线上． 不正确命题的个数是( ) A．0 C．2
B．1 D．3
【解析】 由三角函数线的定义①③正确，②④不正确． 【答案】 C
1
3．在[0,2π]上满足sin x≥2的x的取值范围是( ) π
A．[0，6] π2πC．[6，3]
π5B．[6，6π] 5π
D．[6，π]
1π5
【解析】 画出单位图，结合正弦线得出sin x≥2的取值范围是[6，6π]． 【答案】 B
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3ππ
4．若－4＜α＜－2，则sin α、cos α、tan α的大小关系是( ) A．sin α＜tan α＜cos α C．cos α＜sin α＜tan α
B．tan α＜sin α＜cos α D．sin α＜cos α＜tan α
3ππ
【解析】 在单位圆中，作出－4＜α＜－2内的一个角及其正弦线、余弦线、正切线，易知选D.
【答案】 D
5．点P(sin 3－cos 3，sin 3＋cos 3)所在的象限为( ) A．第一象限 C．第三象限
B．第二象限 D．第四象限
5π
【解析】 因为6＜3＜π，作出单位圆如图所示．
→→
设MP，OM的数量分别为a，b， 所以sin 3＝a＞0，cos 3＝b＜0. 所以sin 3－cos 3＞0. 因为|MP|＜|OM|，即|a|＜|b|， 所以sin 3＋cos 3＝a＋b＜0.
故点P(sin 3－cos 3，sin 3＋cos 3)在第四象限． 【答案】 D 二、填空题
π7ππ
6．依据三角函数线，作出如下四个判断：①sin 6＝sin 6；②cos(－4)＝cos ππ3π；③tan ＞tan 488；
3π4π
④sin 5＞sin 5，其中正确的判断有________个． 【解析】 ①③错误，②④正确． 【答案】 2
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7．函数y＝sin x＋
1
cos x－2的定义域是________．
【解析】 由sin x≥0得2kπ≤x≤2kπ＋π，k∈Z，① 1
由cos x≥2得
ππ
2kπ－3≤x≤2kπ＋3，k∈Z② π
由①②可得2kπ≤x≤2kπ＋3，k∈Z. π
∴定义域是{x|2kπ≤x≤2kπ＋，k∈Z}．
3π
【答案】 {x|2kπ≤x≤2kπ＋3，k∈Z}
8．用三角函数线比较sin 1和cos 1的大小，结果是_____________________． 【解析】 如图，借助三角函数线可知sin 1>cos 1.
【答案】 sin 1>cos 1 三、解答题
9．在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边． 23(1)sin α＝3；(2)cos α＝－5.
2
【解】 (1)作直线y＝3交单位圆于P，Q两点，则OP与OQ为角α的终边，如图甲．
甲 乙
3
(2)作直线x＝－5交单位圆于M、N两点，则OM与ON为角α的终边，如图乙．
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π
10．若0＜α＜β＜2，试比较sin α－α与sin β－β的大小．
【解】 如图①，在单位圆中，由扇形面积公式与三角形面积公式可得弓形11111
AmC的面积S1＝2α－2sin α＝2(α－sin α)，其中2sin α为△OAC的面积，2α为扇形OAC的面积．
1
同理，如图②，S2＝2(β－sin β)为弓形AnD的面积．由图可以看出，S1＜S2，故sin α－α＞sin β－β.
11．若α、β是关于x的二次方程x2＋2(cos θ＋1)x＋cos2 θ＝0的两根，且(α－β)2≤8.求θ的范围．
【解】 由题意得Δ≥0 ∴[2(cos θ＋1)]2－4cos2θ≥0， 1
∴cos θ≥－2. 又(α－β)2≤8， ∴(α＋β)2－4αβ≤8，
∴[2(cos θ＋1)]2－4×cos2θ≤8， 1
∴cos θ≤2. 11∴－2≤cos θ≤2. ∴由三角函数线得
π2π4π5π＋2kπ≤θ≤＋2kπ或＋2kπ≤θ≤3333＋2kπ(k∈Z)． π2π
∴3＋kπ≤θ≤3＋kπ(k∈Z)．
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2024高中数学人教B版必修四1.2.2单位圆与三角函数线课后作业题
