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一、选择题
1.已知α(0<α<2π)的正弦线和余弦线长度相等,且符号相同,那么α的值为( )
3ππ
A.4或4 π5πC.4或4
5π7πB.4或4 π7πD.4或4
【解析】 由题意α的终边为一、三象限的平分线,且0<α<2π,故得απ5=4或4π.
【答案】 C 2.下列四个命题中:
①α一定时,单位圆中的正弦线一定; ②单位圆中,有相同正弦线的角相等; ③α和α+π有相同的正切线;
④具有相同正切线的两个角终边在同一条直线上. 不正确命题的个数是( ) A.0 C.2
B.1 D.3
【解析】 由三角函数线的定义①③正确,②④不正确. 【答案】 C
1
3.在[0,2π]上满足sin x≥2的x的取值范围是( ) π
A.[0,6] π2πC.[6,3]
π5B.[6,6π] 5π
D.[6,π]
1π5
【解析】 画出单位图,结合正弦线得出sin x≥2的取值范围是[6,6π]. 【答案】 B
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3ππ
4.若-4<α<-2,则sin α、cos α、tan α的大小关系是( ) A.sin α<tan α<cos α C.cos α<sin α<tan α
B.tan α<sin α<cos α D.sin α<cos α<tan α
3ππ
【解析】 在单位圆中,作出-4<α<-2内的一个角及其正弦线、余弦线、正切线,易知选D.
【答案】 D
5.点P(sin 3-cos 3,sin 3+cos 3)所在的象限为( ) A.第一象限 C.第三象限
B.第二象限 D.第四象限
5π
【解析】 因为6<3<π,作出单位圆如图所示.
→→
设MP,OM的数量分别为a,b, 所以sin 3=a>0,cos 3=b<0. 所以sin 3-cos 3>0. 因为|MP|<|OM|,即|a|<|b|, 所以sin 3+cos 3=a+b<0.
故点P(sin 3-cos 3,sin 3+cos 3)在第四象限. 【答案】 D 二、填空题
π7ππ
6.依据三角函数线,作出如下四个判断:①sin 6=sin 6;②cos(-4)=cos ππ3π;③tan >tan 488;
3π4π
④sin 5>sin 5,其中正确的判断有________个. 【解析】 ①③错误,②④正确. 【答案】 2
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7.函数y=sin x+
1
cos x-2的定义域是________.
【解析】 由sin x≥0得2kπ≤x≤2kπ+π,k∈Z,① 1
由cos x≥2得
ππ
2kπ-3≤x≤2kπ+3,k∈Z② π
由①②可得2kπ≤x≤2kπ+3,k∈Z. π
∴定义域是{x|2kπ≤x≤2kπ+,k∈Z}.
3π
【答案】 {x|2kπ≤x≤2kπ+3,k∈Z}
8.用三角函数线比较sin 1和cos 1的大小,结果是_____________________. 【解析】 如图,借助三角函数线可知sin 1>cos 1.
【答案】 sin 1>cos 1 三、解答题
9.在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边. 23(1)sin α=3;(2)cos α=-5.
2
【解】 (1)作直线y=3交单位圆于P,Q两点,则OP与OQ为角α的终边,如图甲.
甲 乙
3
(2)作直线x=-5交单位圆于M、N两点,则OM与ON为角α的终边,如图乙.
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π
10.若0<α<β<2,试比较sin α-α与sin β-β的大小.
【解】 如图①,在单位圆中,由扇形面积公式与三角形面积公式可得弓形11111
AmC的面积S1=2α-2sin α=2(α-sin α),其中2sin α为△OAC的面积,2α为扇形OAC的面积.
1
同理,如图②,S2=2(β-sin β)为弓形AnD的面积.由图可以看出,S1<S2,故sin α-α>sin β-β.
11.若α、β是关于x的二次方程x2+2(cos θ+1)x+cos2 θ=0的两根,且(α-β)2≤8.求θ的范围.
【解】 由题意得Δ≥0 ∴[2(cos θ+1)]2-4cos2θ≥0, 1
∴cos θ≥-2. 又(α-β)2≤8, ∴(α+β)2-4αβ≤8,
∴[2(cos θ+1)]2-4×cos2θ≤8, 1
∴cos θ≤2. 11∴-2≤cos θ≤2. ∴由三角函数线得
π2π4π5π+2kπ≤θ≤+2kπ或+2kπ≤θ≤3333+2kπ(k∈Z). π2π
∴3+kπ≤θ≤3+kπ(k∈Z).
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2020高中数学人教B版必修四1.2.2单位圆与三角函数线课后作业题
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