教学设计 课程基本信息 课题 充分条件与必要条件（1） 教学目标 教学目标： 1. 初步理解充分条件、必要条件的含义； 2. 通过对初中定理的再认识，理解充分条件与判定定理、必要条件与性质定理之间的关系； 3. 体会常用逻辑用语在表达数学内容中的作用，逐步提升逻辑推理的素养. 教学重点：理解充分条件、必要条件的含义 教学难点：理解必要条件及充分条件与判定定理、必要条件与性质定理的关系 教学过程 时间 教学环节 主要师生活动 一．教师与学生一起回顾初中阶段所学的与命题相关的知识 1. 命题：初中阶段称判断一件事情的句子为命题. 数学中的命题是用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句. 2. 真命题与假命题：判断为真的语句是真命题，判断为假的语句是假命题； 3. 数学命题的一般形式：“若p，则q”的形式是数学命题的一般形式.其中称p为命题的条件，q称为命题的结论. 7分钟 复习引入 二．提出问题：下列“若p，则q”形式的命题中，哪些是真命题？哪些是假命题？ （1） 若平行四边形的对角线互相垂直，则这个平行四边形是菱形； （2） 若两个三角形周长相等，则这两个三角形全等； （3） 若x?4x?3?0，则x?1； （4） 若平面内两条直线a和b均垂直于直线l，则a//b. 2 1
教师引导学生回顾中学相关知识，进行如下分析： （1） 由菱形的判定定理可知命题（1）是真命题. 追问：对角线互相垂直的平行四边形是否一定是菱形？结论是肯定的；即平行四边形的对角线只要满足互相垂直的条件，则这个平行四边形一定是菱形； （2） 举一个反例：如果有两个三角形，第一个三角形三边分别为3，4，5，周长为12；第二个三角形为等边三角形，边长为4，周长也为12，这两个三角形显然不全等，命题（2）是假命题； 说明：两个三角形周长相等并不一定能推出这两个三角形全等的结论； （3）解方程x?4x?3?0，得x?1或x?3，即若x?4x?3?0，则一定有x?1或x?3的结论，所以命题（3）是假命题； （4）由垂直定义可知直线a和b与直线l夹角都是90?，由同位角相等、内错角相等或者同旁内角互补一定可以证明a//b，所以命题（4）是真命题. 学生运用自己所学的知识分析，判断. 一．定义概念： 一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q，称由p可以推出q，记作p?q，且称p是q的充分条件，q是p的必要条件. “若p，则q”为假命题，是指由p不能通过推理得出q，称p不是q的充分条件，q不是p的必要条件. 二．理解概念 定义概念 3分钟 理解概念 1.教师引导学生结合具体问题理解概念的含义； 结合上面的思考题，命题（1）（4）是真命题. 命题（1）条件“平行四边形的对角线互相垂直”是结论“这个平行四边形是菱形”的充分条件，结论“这个平行四边形是菱形”是条件“平行四边形的对角线互相垂直”的必要条件； 命题（4）条件“平面内两条直线a和b均垂直于直线l”是结论“a//b”的充分条件，结论“a//b”是条件“平面内两条直线a和b均垂直于直线l”的必要条件； 2.关于“必要条件”的理解 当“若p，则q” 形式的命题是真命题时，称p是q的充分条件，这点学生易于
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理解；但“q是p的必要条件”这点学生可能会产生困惑，“为什么命题的结论又成为条件了呢？”对此问题做如下分析： p和q是两个语句，对于“若p，则q”形式的命题，无论其是真命题还是假命题，都称p为命题的条件，q为命题的结论. 当该命题为真命题时，即由p能推出q，也就是若p成立，起码q成立；如果q不成立，那么p也就不成立了，即q成立是p成立的必不可少的条件，称q是p的必要条件，它刻画了p和q之间的逻辑关系. 3对“充分”“必要”的进一步理解 学生结合具体命题，理解充分条件和必要条件的含义. 说明：日常生活中“肯定”“足以”等也用于表达“充分”的含义；“至少”“起码”等用于表达“必要”的含义. 例1 下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？ （1） 若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形； （2） 若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似； （3） 若四边形为菱形，则这个四边形的对角线互相垂直； （4） 若x?1，则x?1； （5） 若a?b，则ac?bc； 13分钟 举例分析 （6） 若x,y都为无理数，则xy为无理数； 教师引导学生分析、判断： （1） 由平行四边形的判定定理可知，四边形满足“两组对角分别相等”的条件就一定是平行四边形，所以“四边形的两组对角分别相等”是 “这个四边形是平行四边形”的充分条件；当然判定一个四边形是平行四边形还可以通过其他方式，例如两组对边分别相等，即“四边形是平行四边形”的充分条件不唯一； （2） 由三角形相似的判定定理可知，三边成比例的两个三角形一定是相似三角形，所以“两个三角形的三边成比例”是 “这两个三角形相似”的充分条件，两个三角形相似也可以通过其他形式判定，即“两个三角形相似”的充分条件也不唯一； 2 1
高中数学人教A版1.4充分条件与必要条件(1)教学设计
