索洛模型文献综述
摘要：经济增长一直是经济学讨论的焦点之一,经济增长理论也自然相伴而生并且层出不穷。从亚当·斯密和大卫·李嘉图为代表的古典经济理论到哈罗德—多马经济增长模型,再到索洛含技术进步因素的新古典经济增长理论,都对经济增长有着不同的建树。本文通过对索洛模型相关文献资料的收集、整理，对索洛模型进行分析总结。
关键词：索洛模型；经济增长
前言
英国古典经济学家亚当·斯密( 1776)在其历史巨著《国富论》中,第一次系统地探讨了达到尽可能快的经济增长的途径,而且也系统地论证了自由竞争的市场经济对近代经济增长的积极作用。他认为,增加国民财富和促进经济增长的主要途径是增加劳动者的数目、增加资本投入、加强分工和改良机器以提高生产率;并指出,这些因素都可以由市场自行解决,而毋须国家的干预。自此以后,经济增长和经济增长理论就成为经济学研究的核心课题之一。经济增长理论的不断发展其实就是经济学家不断寻找和解释经济增长源泉的过程。20世纪50年代末期，索洛等经济学家建立的索洛模型更是对经济增长理论的发展做出了卓越贡献。 一、 模型的基本假定
所有的新古典经济增长模式都采用了同样的一般均衡结构。首先，家庭拥有经济中的投入和资产，并选择收入用于消费和储蓄的份额。其次，厂商雇佣资本和劳动，并用这些投入生产产品以销售给家庭或其他厂商。最后，在市场中，一方面厂商想家庭和其他厂商销售产品，另一方面家庭向厂商供给投入。需求量和供给量决定了各种投入和产品的相对价格。索洛模型的基本假定如下： （1） 假定经济是封闭的，家庭不能购买外国产品和资产，也不能向国外出售产
品和资产。
（2） 假定经济中只存在两种投入，物质资本K(t)和劳动L(t)。生产函数形式为：
Y(t)=F[K(t),L(t)],Y(t)是t时的产出。
（3） 假定产出是用来消费C(t)、投资I(t)或生产新资本K(t)。 （4） 假定储蓄率是外生给定的。 （5） 假定资本折旧率δ<0,是常数。
（6） 假定经济关于时间是连续的。初始的资本和劳动水平给定，分别为K0，L0
且人口以不变的外生变量增长，即n≥0。 二、 模型的基本性质
索洛模型的核心是其新古典生产函数，如果忽略技术变化则有：Y=F(K,L),假设F函数：R?R?R是二阶连续可微的，并满足如下性质：
(1)对所有K>0,L>0,F函数是一个非递减函数，投入越多，产出越多。即，它
关于每一投入具有正的和递减的边际产品：
?F?K?2F?0，?K2?0, ?0,
?F?L?2F?0，?L21 / 5
（2）F函数是一个齐次函数，具有规模收益不变：F(?K,?L)??F(K,L),??0，
?F?FK?L ?K?L 即产出在资本和劳动之间分割，厂商利润为零。 （3）生产函数F满足稻田条件（Inada conditions），即：
对上式进行微分，可得欧拉方程：F(K,L)?limFK?limFL??,limFK?limFL?0
K?0L?0K??L??（4）生产函数F是拟凹函数，实际中一般假设其为严格凹函数，对于λ∈
（0,1）,(K1,L1),(K2,L2)有：
?K1?(1??)K2,?L1?(1??)L2]?(1??)F(K1,L1)??F(K2,L2)
（5）物质资本和劳动必须都要投入：F（0,L）=F(K,0)=0 （6）在不变收益假设下，生产函数可写为人均的形式：
YF(K,L)??F(K,1)?F(k,1)?f(k)
LLL三、 索洛模型公式推导
利用因素分析法对索洛模型公式进行推导。
设: t为计算期角码, 0为基期角码, Y为产值, L为劳动力, K为资金,△为增量
因为:产值=资金额×资金产值率 即Y=K (Y/K) 所以:△Y=Yt-Yo=Kt(Yt/Kt) -K0(Y0/K0) = (Kt-K0) (Y0/K0) +Kt(Yt/Kt-Y0/K0) (①)
因为:产值=劳动人数×劳动生产率 即Y=L (Y/L) 所以:△Y=Yt-Y0=Lt(Yt/Lt) -L0(Y0/L0) = (Lt-L0) (Y0/L0) +Lt(Yt/Lt-Y0/L0) (②) (①×a+②×b) / (a+b),得:
△Y=a/ (a+b) (Y0/L0) (Kt-Ko) +a/ (a+b)×Kt(Yt/Kt-Y0/K0) +b/ (a+b) (Y0/L0) (Lt-L0) +b/ (a+b) Lt(Yt/Lt-Y0/L0) (③) 令:α=a/ (a+b);β=b/ (a+b),
△Y=α(Y0/K0) (Kt-K0) +αKt(Yt/Kt-Y0/K0) +β(Y0/L0) (Lt-L0) +βLt(Yt/Lt-Y0/L0) (④) ④式两边同除Y0,整理后得:
△Y/Y0=α(Kt-K0) /K0+β(Lt-L0) /L0 +α(Yt/Y0-Kt/K0) +β(Yt/Y0-Lt/L0) (⑤) 已知: Y=△Y/Y0———产值增长速度
K= (Kt-K0) /K0=△K/K0———资金投入增长速度 L= (Lt-L0) /L0=△L/L0———劳动力增长速度 并令: A=α(Yt/Y0-Kt/K0) +β(Yt/Y0-Lt/L0), ⑤式即简化为:
Y=A+αK+βL———索洛模型公式!
四、 索洛模型的内容
1．对于储蓄资源的分配
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产出在消费和投资之间划分，在不变的资本折旧率下资本折旧的情况下，资本积累方程：K??I-?K?sY??K
假定人均资本为r=k=K/L,对人均资本求导：
k??(K?K?L?L?KK?)????nk <1> LL2L对上式两边同时除以L，得，
K??sY??K?sf(k)??k <2> LLL根据<1>、<2>式得到：k??sf(k)?(n??)k <3>（索洛模型的基本动态方程式）
装换：sf(k)?k??(n??)k <4>
<4>式表明，经济增长来自对社会储蓄资源的分配。从上述公式可以看出，
一个社会的人均储蓄可以用于两个部分：
（1）资本的深化：人均资本k的增加，每个人所配备的资本设备更多。 （2）资本的广化：每一个增加的人口所配备的人均应得到的资本和用于弥补固定资产损耗的资本（n+δ）k 2.经济增长的稳态
（1）不考虑技术因素
根据所得到的公式，可以看出，不论经济的初始位置如何，该经济总会收敛于一条平衡增长路径、平衡增长路径是这样一种状态，经济中的每一变量都以常数率增长。在索洛模型中，对应<3>式为零，如图1中sf(k)及(n+δ)k的交点，即k*满足如下的均衡增长条件：
sf(k*)=(n+δ)k*
(n+δ)k f(k) sf(k) c K k(0) K*
图1 经济增长的稳态
图2 K的相位图
图2给出了索洛模型中的k的相位图：
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