C．45° D．30° 二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中的横线上)
13．下列图形可用符号表示为________．
14．正方体ABCD－A1B1C1D1中，二面角C1－AB－C的平面角等于________．
15．设平面α∥平面β，A，C∈α，B，D∈β，直线AB与CD交于点S，且点S位于平面α，β之间，AS＝8，BS＝6，CS＝12，则SD＝________.
16．将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A－BD－C，有如下四个结论： ①AC⊥BD；
②△ACD是等边三角形； ③AB与平面BCD成60°的角； ④AB与CD所成的角是60°.
其中正确结论的序号是________．
三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(10分)如下图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC与△A1B1C1都为正三角形且AA1⊥面ABC，F、F1分别是AC，A1C1的中点．
求证：(1)平面AB1F1∥平面C1BF； (2)平面AB1F1⊥平面ACC1A1.
18．(本小题满分12分)如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB＝4，BC＝3，AD＝5，∠DAB＝∠ABC＝90°，E是CD的中点．
(1)证明：CD⊥平面PAE；
(2)若直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，求四棱锥P－ABCD的体积．
19．(12分)如图所示，边长为2的等边△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC＝22，M为BC的中点．
(1)证明：AM⊥PM；
(2)求二面角P－AM－D的大小．
20．(本小题满分12分)(2010·辽宁文，19)如图，棱柱ABC－A1B1C1的侧面BCC1B1是菱形，B1C⊥A1B.
(1)证明：平面AB1C⊥平面A1BC1； (2)设D是A1C1上的点，且A1B∥平面B1CD，求A1DDC1
的值．
21．(12分)如图，△ABC中，AC＝BC＝2
2
AB，ABED是边长为1的正方形，平面ABED⊥底面ABC，若G，F分别是EC，BD的中点．
(1)求证：GF∥底面ABC；
(2)求证：AC⊥平面EBC； (3)求几何体ADEBC的体积V.
[分析] (1)转化为证明GF平行于平面ABC内的直线AC；(2)转化为证明AC垂直于平面EBC内的两条相交直线BC和BE；(3)几何体ADEBC是四棱锥C－ABED.
22．(12分)如下图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4，点D是AB的中点．
(1)求证：AC⊥BC1；
(2)求证：AC1∥平面CDB1；
(3)求异面直线AC1与B1C所成角的余弦值．
第一章 空间几何体
参考答案
A组 一、选择题
1．A解析：从俯视图来看，上、下底面都是正方形，但是大小不一样，可以判断可能是棱台． 2．A解析：原图形为一直角梯形，其面积S＝
12(1＋2＋1)×2＝2＋2． 3．A解析：因为四个面是全等的正三角形，则S3表面＝4×4＝3． 4．B解析：长方体的对角线是球的直径， l＝32＋42＋52＝52，2R＝52，R＝
522，S＝4πR2＝50π． 5．C解析：正方体的对角线是外接球的直径．
6．D解析：V＝V13大－V小＝3πr2(1＋1.5－1)＝2π．
7．D解析：设底面边长是a，底面的两条对角线分别为l1，l2，而l12＝152－52，l22＝92－52，而
l12＋l22＝4a2，即152－52＋92－52＝4a2，a＝8，S侧面＝4×8×5＝160．
8．D解析：过点E，F作底面的垂面，得两个体积相等的四棱锥和一个三棱柱，
V＝2×13×34×3×2＋12×3×2×3152＝2．
9．B解析：斜二测画法的规则中，已知图形中平行于 x 轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于 y 轴的线段，长度为原来的一半．平行于 z 轴的线段的平行性和长度都不变．
10．D解析：从三视图看底面为圆，且为组合体，所以选D. 二、填空题
11．参考答案：5，4，3．解析：符合条件的几何体分别是：三棱柱，三棱锥，三棱台． 12．参考答案：1∶22∶33． r1∶r2∶r3＝1∶2∶3，r13∶r23∶r33＝13∶(
2)3∶(3)3＝1∶22∶33．
13．参考答案：16a3．解析：画出正方体，平面AB1D1与对角线A1C的交点是对角线的三等分
点，
三棱锥O－AB1D1的高h＝
3333a，V＝13Sh＝13×4×2a2×3a＝16a3． 另法：三棱锥O－AB1D1也可以看成三棱锥A－OB1D1，它的高为AO，等腰三角形OB1D1为底面．
14．参考答案：平行四边形或线段．
15．参考答案：6，6．解析：设ab＝2，bc＝3，ac＝6，则V = abc＝6，c＝3，a＝2，b＝1，l＝3＋2＋1＝6．
16．参考答案：12．解析：V＝Sh＝πr2h＝43
3πR，R＝364×27＝12． 三、解答题 17．参考答案：
V＝13(S＋SS′＋S)h，h＝3V3×190000S＋SS′＋S′＝3600＋2400＋1600＝75．
18．参考答案：
如图是过正方体对角面作的截面．设半球的半径为R，正方体的棱长为a，则CC'＝a，OC＝22a，OC'＝R．
A' C' A O C
(第18题)
在Rt△C'CO中，由勾股定理，得CC' 2＋OC2＝OC' 2，
即 a2＋(
22a)2
＝R2． ∴R＝62a，∴V6半球＝2πa3，V正方体＝a3．
∴V半球 ∶V正方体＝6π∶2． 19．参考答案：
S表面＝S下底面＋S台侧面＋S锥侧面
＝π×52＋π×(2＋5)×5＋π×2×22 ＝(60＋42)π． V＝V台－V锥
＝13π(r－112＋r1r2＋r22)h3πr2h1 ＝
1483π． 20．
解：(1) 参考答案：如果按方案一，仓库的底面直径变成16 m，则仓库的体积V11162561＝3Sh＝3×π×(2)2×4＝3π(m3)．
如果按方案二，仓库的高变成8 m，则仓库的体积
V11122882＝3Sh＝3×π×(2)2×8＝3π(m3)．
(2) 参考答案：如果按方案一，仓库的底面直径变成16 m，半径为8 m． 棱锥的母线长为l＝82＋42＝45， 仓库的表面积S1＝π×8×45＝325π(m2)． 如果按方案二，仓库的高变成8 m． 棱锥的母线长为l＝82＋62＝10， 仓库的表面积S2＝π×6×10＝60π(m2)．
(3) 参考答案：∵V2＞V1，S2＜S1，∴方案二比方案一更加经济些．
详解答案 1[答案] D 2[答案] C
[解析] AB与CC1为异面直线，故棱中不存在同时与两者平行的直线，因此只有两类：
第一类与AB平行与CC
1相交的有：CD、C1D1 与CC1平行且与AB相交的有：BB1、AA1， 第二类与两者都相交的只有BC，故共有5条．
3[答案] C
[解析] 1°直线l与平面α斜交时，在平面α内不存在与l平行的直线，∴A错； 2°l?α时，在α内不存在直线与l异面，∴D错； 3°l∥α时，在α内不存在直线与l相交．
无论哪种情形在平面α内都有无数条直线与l垂直．
4[答案] D
[解析] 由于AD∥A1D1，则∠BAD是异面直线AB，A1D1所成的角，很明显∠BAD＝90°. 5[答案] B
[解析] 对于选项A，当a与b是异面直线时，A错误；对于选项B，若a，b不相交，则a与b平行或异面，都存在α，使a?α，b∥α，B正确；对于选项C，a⊥α，b⊥α，一定有a∥b，C错误；对于选项D，a?α，b⊥α，一定有a⊥b，D错误．
高中数学必修2第1、2章知识点+习题
