特别解析：线性规划求最值
一、目标函数线的平移法：利用直线的截距解决最值问题
?x?2≤0，?例1 已知点P(x，y)在不等式组?y?1≤0，表示的平面区域上运动，则z?x?y的
?x?2y?2≥0?取值范围是（ ）．
（A）［－2，－1］ （B）［－2，1］ （C）［－1，2］ （D）［1，2］
解析：由线性约束条件画出可行域，考虑z?x?y， 变形为y?x?z，这是斜率为1且随z变化的一族平行
?z是直线在y轴上的截距．直线．当直线满足约束条件且经过点（2，0）时，目标函数z?x?y取得最大值为2；直线经过点（0，1）时，目标函数z?x?y取得最小值为－1．故选（C）．
注：本题用“交点法”求出三个交点坐标分别为（0，1），（2，1），（2，0），然后再一一代入目标函数求出z=x-y的取值范围为［?1，2］更为简单．
?x?y?0?例2 已知实数x、y满足约束条件?x?y?5?0，则z?2x?4y的最小值为（ ）
?x?3? 分析：将目标函数变形可得y??1zx?，所求的目标函数的最小值即一组平行直241y??x?b在经过可行域时在y轴上的截距的最小值的4倍。
2解析：由实数x、y满足的约束条件，作可行域如图所示：
y 5 A -5 O 3 C L
当一组平行直线L经过图中可行域三角形ABC区域的点C时，在y轴上的截距最小，又
B x C(3,?3)，故z?2x?4y的最小值为zmin?2?3?4?(?3)??6。
二、数行结合，构造斜率法：利用直线的斜率解决最值问题
?x?y?2≤0，y?例3 设实数x，则z?的最大值是__________． ，y满足?xc?2y?4≥0，x?2y?3≤0，? 解析：画出不等式组所确定的三角形区域ABC（如图2），z?yy?0表示两点?xx?0要求z的最大值，即求可行域内的点与原点连线的斜O(0，，0)P(x，y)确定的直线的斜率，率的最大值．由图2可以看出直线OP的斜率最大，故P为x?2y?4?0与2y?3?0的交
，?．故答案为点，即A点． ∴P?1注：解决本题的关键是理解目标函数z?几何意义，当然本题也可设
?3??2?3． 2yy?0的 ?xx?0y?t，则y?tx，即为求 xy?tx的斜率的最大值．由图2可知，y?tx过点A时，
3， 2
t最大．代入y?tx，求出t?即得到的最大值是
3． 2?x2?y2?4y?3例3.已知实数x、y满足不等式组?,求函数z?的值域.
x?1?x?0解析：所给的不等式组表示圆x?y?4的右半圆(含边界)，
y 22 -2 O -2 ?2 x （-1，-3） z?22y?3可理解为过定点P(?1,?3)，斜率为zx?1的直线族．问题的几何意义：求过半圆域x?y?4(x?0)上任一点与点P(?1,?3)的直线斜率的最大、最小值．由图知，过点P和点A(0,2)的直线斜率最大，zmax?2?(?3)?5．过
0?(?1)点P所作半圆的切线的斜率最小．设切点为B(a,b)，则过B点的切线方程为ax?by?4．又
??2?36a???a2?b2?426?3?5B在半圆周上，P在切线上，则有?解得?因此zmin?。
3??a?3b?4?b??6?6?5?三、平面内两点间的距离型（或距离的平方型），构造两点间的距离公式法解决最值问题
?x?y?1?0?22例5 已知实数x、y满足?x?y?1?0，则w?x?y?4x?4y?8的最值为________.
?y??1? 解析：目标函数w?x?y?4x?4y?8?(x?2)?(y?2)，其含义是点(2,2)与可行域内的点的距离的平方。由实数x、y所满足的不等式组作可行域如图所示：
y 1 -1 B A 1 C -1 x+y-1=0 可行域为图中VABC内部（包括边界），易
求B（-2，-1），结合图形知，点(2,2)到点B的距离为其到可行域内点的最大值，
（2，2） ?2222O x wmax?(?2?2)2?(?1?2)2?25；点(2,2)到直线x+y-1=0的距离为其到可行域内点的最
小值，wmin?|2?2?1|32。 ?22?x?y?2≥0，?22例6 已知?x?y?4≥0，，求z?x?y?10y?25的最小值．
?2x?y?5≤0，? 解析：作出可行域，并求出顶点的坐标A（1，3）、B（3，1）、C（7，9）．而z?x?(y?5)22表示可行域内任一点（x，y）到定点M（0，5）的距离的平方，过M作直线AC的垂线，易知垂足Ｎ在线段AC上，故z的最小值是MN2?9． 2 注：充分理解目标函数的几何意义，如两点间的距离（或平方）、点到直线的距离等．
特别解析：线性规划求最值
