3．1.2 复数的几何意义
预习课本P52～53，思考并完成下列问题 (1)复平面是如何定义的，复数的模如何求出？
(2)复数与复平面内的点及向量的关系如何？复数的模是实数还是复数？
[新知初探]
1．复平面
2．复数的几何意义
一一对应
(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)―――――――→ 复平面内的点Z(a，b) 一一对应――→(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R) ――――→平面向量OZ. 3．复数的模
(1)定义：向量OZ的模r叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模． (2)记法：复数z＝a＋bi的模记为|z|或|a＋bi|. (3)公式：|z|＝|a＋bi|＝r＝a2＋b2(r≥0，r∈R)． [点睛] 实轴、虚轴上的点与复数的对应关系
实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，原点对应的有序实数对为(0,0)，它所确定的复数是z＝0＋0i＝0，表示的是实数．
[小试身手] 1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
1
(1)在复平面内，对应于实数的点都在实轴上．( )
(2)在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数．( ) (3)复数的模一定是正实数．( ) 答案：(1)√ (2)× (3)×
2．已知复数z＝i，复平面内对应点Z的坐标为( ) A．(0,1) B．(1,0) C．(0,0) D．(1,1) 答案：A
3．向量a＝(1，－2)所对应的复数是( ) A．z＝1＋2i C．z＝－1＋2i 答案：B
4．已知复数z的实部为－1，虚部为2，则|z|＝________. 答案：5
a2－a－6[典例] 求实数a分别取何值时，复数z＝＋(a2－2a－15)i(a∈R)对应的点Z
a＋3满足下列条件：
(1)在复平面的第二象限内． (2)在复平面内的x轴上方．
[解] (1)点Z在复平面的第二象限内， a2－a－6??＜0，则?a＋3 ??a2－2a－15＞0，解得a＜－3. (2)点Z在x轴上方，
?a2－2a－15＞0，?则? ?a＋3≠0，?
B．z＝1－2i D．z＝－2＋i
复数与点的对应关系
即(a＋3)(a－5)＞0，解得a＞5或a＜－3. [一题多变]
1．[变设问]本例中题设条件不变，求复数z表示的点在x轴上时，实数a的值．
2
解：点Z在x轴上，所以a2－2a－15＝0且a＋3≠0， 所以a＝5.
故a＝5时，点Z在x轴上．
2．[变设问]本例中条件不变，如果点Z在直线x＋y＋7＝0上，求实数a的值． 解：因为点Z在直线x＋y＋7＝0上， a2－a－62
所以＋a－2a－15＋7＝0，
a＋3即a3＋2a2－15a－30＝0，
所以(a＋2)(a2－15)＝0，故a＝－2或a＝±15.
所以a＝－2或a＝±15时，点Z在直线x＋y＋7＝0上．
利用复数与点的对应解题的步骤 (1)找对应关系：复数的几何表示法即复数z＝a＋bi(a，b∈R)可以用复平面内的点Z(a，b)来表示，是解决此类问题的根据． (2)列出方程：此类问题可建立复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程(组)或不等式(组)求解． 复数的模 [典例] (1)若复数z对应的点在直线y＝2x上，且|z|＝5，则复数z＝( ) A．1＋2i C．±1±2i
B．－1－2i D．1＋2i或－1－2i
(2)设复数z1＝a＋2i，z2＝－2＋i，且|z1|＜|z2|，则实数a的取值范围是( ) A．(－∞，－1)∪(1，＋∞) C．(1，＋∞)
B．(－1,1) D．(0，＋∞)
[解析] (1)依题意可设复数z＝a＋2ai(a∈R)， 由|z|＝5得
a2＋4a2＝5，
解得a＝±1，故z＝1＋2i或z＝－1－2i. (2)因为|z1|＝
a2＋4，|z2|＝4＋1＝5，
所以a2＋4＜5，即a2＋4＜5，所以a2＜1， 即－1＜a＜1. [答案] (1)D (2)B
复数模的计算
(1)计算复数的模时，应先确定复数的实部和虚部，再利用模长公式计算．虽然两个虚
3
高中数学人教A版选修1-2教学案：第三章 3.1 3.1.2 复数的几何意义 Word版含答案
