江西省上饶县中学2017-2024学年高中数学奥林匹克竞赛训练题（181）（无答案）
第一试
一、填空题（每小题8分，共64分）
1. 在金属丝制作的3?4?7的长方体框架中放置一个球，则该球的半径的最大值为. 2. 双曲线的左、右两焦点分别为F1、F2，一条过F2的直线与双曲线的右支交于
A、B两点.若?F1AB为正三角形，则双曲线的离心率为.
3. 已知正实数a、b、c满足a?b?c?1.则a?b?c的最大值为.
4. 从九名同学中先出五名组成班选会，要求甲、乙两人要么同时入选，要么同时不入选，丙、丁两人不同时入选.则符合要求的选法共有种（用数字作答）. 5. 在等腰?ABC中，已知AC?BC?5，点D、E、F分别在边AB、BC、CA上，
uuuruuur25uuuruuur且AD?DB?EF?1.若DEgDF?，则EFgBA的取值范围是.
1636. 圆周上每个点均被染为红、黄、蓝三色之一，并且三种颜色的点均出现.现从圆周上任取n个点.若其中总存在三个点构成三个顶点同色的钝角三角形，则n的最小可能值为.
7. 已知?、???0,??.则?sin??sin(???)?sin?的最大值为.
?12na?n?ax8. 设.若，则n的取值集合为. ?n?1n231?x?x?xi?o
二、解答题（共56分）
9.（16分）求函数f(x)?2x2?x4x2?3的值域.
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10.（20分）如图1，在平面直角坐标系xOy中，以P为圆心的圆与双曲线xy?1交于点A、B、C、D.记线段AB、CD的中点分别为E、F.证明：四边形OEPF为平行四边形.
11. （20分）已知数列?an?满足a1?0，并且对任意的n???,an?1取an?1或an?1的
1概率均为.
2（1）设a2n?1的值为随机变量X，试求X的概率分布； （2）求X的绝对值的数学期望EX.
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加 试
一、（40分）如图2，在?ABC中，AB?AC，圆?是?ABC的外接圆，圆?1过点圆?2过点C且与AB切于点A，圆?1与圆?2交于A、D两点，B且与AC切于点A，
射线BD与圆?2交于点E，射线CD与圆?1交于点F（点E、F均不与D重合），直线BF与CE交于点P.证明：?BAP??CAD.
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二、（40分）设c1,c2,L为正整数数列,且对任意满足1?m??ci的正整数m、n,存
i?1n在正整数a1,a2,L,an，使得m??i?1nci.试对每一个固定的i(i?Z?),求ci的最大值. ai
??n????n，其中,?x?表示三、（50分）证明：存在无穷多个正整数n,使得??n???????5????- 4 -
不超过实数x的最大整数.
四、(50分)已知有n(n?4)支足球队参加单循环赛,每两队赛一场,每场胜方得3分,负方得0分,平局各得1分.所有比赛结束后发现,各队的总分构成公差为1的等差
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数列,求最后一名得分的最大值.
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