八年级数学第一章 勾股定理 第二、三节北师大版
【本讲教育信息】
一. 教学内容：
第一章：勾股定理
第二节：能得到直角三角形吗 第三节：蚂蚁怎样走最近
二. 教学要求：
1. 掌握勾股定理的逆定理及其应用，注意勾股定理和逆定理的区别和联系，了解勾股数，培养学生分析问题、解决问题的能力。并利用它们解决简单的实际问题。
2. 经历探索能得到直角三角形吗这一活动，从而得出勾股定理的逆定理的过程，通过定理的应用，体现由“数”到“形”的数形结合思想和转化思想。
三. 重点、难点：
勾股定理的逆定理及其应用既是重点也是难点，解决的关键是正确理解勾股定理的逆定理，能将三角形三边的“数”的关系转化为直角三角形的“形”的特征。
四. 课堂教学 ［知识要点］
1. 勾股定理的逆定理 如图所示，如果三角形的三边长a，b，c满足a?b?c，那么这个三角形是直角三角形。
222
此定理是直角三角形的判定定理，必须已知三角形的三边，且满足两短边的平方和等于最长边的平方，才可判断这个三角形是直角三角形，且最长边所对的角是直角。
注意：
（1）不能机械地认为c所对的角就是直角。 （2）a?b是否等于c，需要通过计算进一步验算，不能开始就写a?b?c。 2. 勾股定理与逆定理的关系
勾股定理是已知直角三角形，得到三边的关系，它是直角三角形的重要性质之一，而逆定理是由三角形三边的关系，判断一个三角形是否为直角三角形，这是直角三角形的判定，也是判断两直线垂直的方法之一，二者的条件和结论刚好相反，要仔细区别，切勿混淆。 3. 勾股定理的逆定理的延伸拓展
如果三角形三边长a，b，c满足a?b?c（c边最大），那么这个三角形是直角三角形，如果a?b?c，那么这个三角形是钝角三角形，如果a?b?c，那么这个三角形是锐角三角形。 4. 勾股数
满足a?b?c的三个正整数，称为勾股数。
对于任意两个整数m，n（m>n>0），m?n,m?n和2mn这三个数就是一组勾股数，可见勾股数组有无数组。
2222222222222222222222常见的勾股数组有：（1）3，4，5（2）6，8，10（3）8，15，17（4）7，24，25（5）5，12，13（6）9，12，15。应熟记。
注意：（1）3，4，5既是勾股数，又是三个连续的整数，它们非常的特殊，不要认为凡是三个连续整数都是勾股数。
（2）每组勾股数的相同倍数也是勾股数。
（3）上述几组常见的勾股数需牢记，平时做题时经常用到，它不仅在勾股定理及其逆定理中广泛应用，而且还可以帮助我们分析思路，找到解决问题的途径和方法。 5. 应用勾股定理解决实际问题
（1）解决两点距离问题：画出正确的图形，已知直角三角形两边，利用勾股定理求第三边。
（2）解决航海问题：理解方向角、灯塔等概念，根据题意画出图形，利用定理或逆定理解决问题。
（3）解决实际问题中两线段是否垂直的问题：以已知两线段为边构造一个三角形，根据三边的长度，利用勾股定理的逆定理解题。
（4）解决折叠问题：正确画出折叠前、后的图形，运用勾股定理及方程思想解题。 （5）解决梯子问题：梯子架到墙上，梯子、墙、地面构成直角三角形，利用勾股定理等知识解题。
（6）解决侧面展开问题：将立体图形的侧面展开成平面图形，利用勾股定理解决表面距离最短的问题。
注意：运用勾股定理及其逆定理解决实际问题时，应具体问题具体分析，灵活运用所学的知识，达到融会贯通的目的，其中利用勾股定理列方程也是常用方法之一。
【典型例题】
a?m?n，c?m?n，例1. 在△ABC中，其中m，n是正整数，且m?n，b?2mn，
试判断△ABC是否为直角三角形。
分析：本题中已给出三角形的三边长，判断该三角形是否是直角三角形，只需直接运用勾股定理的逆定理就可以了，但关键是确定最大边。
解：∵m，n是正整数，且m?n， ∴c?b，c?a
∴a?b?(m?n)?(2mn)
2222222222?m4?2m2n2?n4?4m2n24224
?m?2mn?n22224224又∵c?(m?n)?m?2mn?n
222∴a?b?c
∴△ABC是直角三角形。 说明：勾股定理的逆定理是直角三角形的判定方法之一，利用它判断一个三角形是否是直角三角形的步骤是（1）确定最大边（不妨设为c）；（2）计算c与a?b的值；（3）比较c与a?b是否相等，若相等，则此三角形是直角三角形。
例2. 如图所示，在四边形ABCD中，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13，∠B＝90°，求四边形ABCD的面积。
222222
分析：由AB＝3，BC＝4，∠B＝90°，想到连接AC，则Rt△ABC的面积可求，且可求出AC的长，因此在△ACD中，三边长已知，欲求面积，想到它是不是直角三角形，因此可用勾股定理的逆定理进行判断。
解：连接AC，∵AB＝3，BC＝4，∠B＝90° ∴AC?AB?BC?25，∴AC＝5， 在△ACD中，由勾股定理得
222AC2?CD2?52?122?25?144?169
22而AD?13?169
222 ∴AC?CD?AD
∴∠ACD＝90°，即△ACD是直角三角形。
1?3?4?6 21 S?ABC??5?12?30
2∴四边形ABCD的面积为S?ABC?S?ACD?36
∴S?ABC?
例3. 如图所示，将长方形ABCD沿直线BD折叠，使点C落在C＇处，BC＇交AD与E，AD＝8，AB＝4，求△BED的面积。
1DE?AB，所以只要求出DE的长即可，而2DE?BE,AE?AD?DE?8?BE。在Rt?ABE中，利用勾股定理列方程求解。
分析：由于S?BED?
解：∵AD∥BC，∴∠2＝∠3。 ∵△BC＇D与△BCD关于直线BD对称。 ∴∠1＝∠2，∴∠1＝∠3，∴EB＝ED 设EB＝x，则ED＝x， AE＝AD－ED＝8－x
在Rt?ABE中，AB?AE?BE ∴4?(8?x)?x，∴x?5， ∴S?BED?222222∴DE?5，
11DE?AB??5?4?10 22例4. 有一柱形油桶，底面周长是12米，高是5米，现从油罐底部A点环绕油罐建梯子，
正好到A点的正上方B点，则梯子最短需要多少米？
分析：环绕油罐建梯子，想到将圆柱沿AB展开，得到一个长方形，由两点之间，线段最短，建造直角三角形，再利用勾股定理解题。
解：如图，将圆柱体的侧面沿AB展开， 得到长方形AA′B′B 则AB＝A′B′＝5米， AA′＝BB′＝12米，∠A′＝90° 因此沿AB′建梯子，梯子最短。 在Rt△AA′B′中
AB'2?AA'2?A'B'2?122?52?169 ∴AB'?13（米）
答：梯子最短需13米。
例5. 在一棵树的10米高处有两只猴子，其中一只猴子爬下树走到离树20米的池塘A处，另一只爬到树顶后直接跃向池塘的A处，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树有多高？
分析：如图所示，一只猴子从B→C→A共走了30米，另一只猴子从B→D→A也走了30米，且树垂直于地面，于是此问题可转化到直角三角形中，利用勾股定理解决。
解：设BD＝x， 则CD＝BD+BC＝x+10 ∵BC+CA＝BD+DA＝30 ∴AD＝30－BD＝30－x
在Rt△ADC中，AD?CD?AC ∴(30?22x)?(x?10)?202
222解得x＝5，∴CD＝x+10＝15（m）
答：这棵树高15米。
例6. 李老师让同学们讨论这样一个问题，如图所示，有一个长方体盒子，底面正方形的边长为2厘米，高为3厘米，在长方体盒子下底面的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面的F点处的食物，则怎样爬行路程最短？最短路程是多少？
过了一会，李老师问同学们答案，甲生说：先由A点到B点，再走对角线BF，乙生说：我认为应由A先走对角线AC，再走C到F点。丙生说：将长方形ABCD与长方形BEFC展开成长方形AEFD，利用勾股定理求AF的长。丁生说：将长方形ABCD与正方形CFGD展开成长方形ABFG，利用勾股定理求AF的长，你认为哪位同学的说法正确？你还有其他方法么？若有，请叙述出来并说明理由。（参考数据：29?5.39）
分析：要使蚂蚁爬行的路程最短，可直接连接AF，再求出AF，但AF在盒子里面，不符合题目要求。甲生和乙生的方案类似，只是顺序不同，丙生和丁生的方法类似，只是长方形的长、宽不同，若在丙、丁的长方形中分别画出甲、乙的路线，则发现丙生和丁生的办法都符合要求，但究竟哪个路程最短，就需要计算了。
解：按丙生的办法：将长方形ABCD与长方形BEFD展开成长方形AEFD，如图所示：
2
则AE＝AB+BE＝4cm，EF＝3cm，连接AF
在Rt△AEF中，AF?AE?EF?4?3?25?4?3?25 ∴AF＝5（cm），连接BF
∵AF 按丁生的办法，将长方形ABCD与正方形CFGD展开成长方形ABFG，如图所示： 2222222 则BF＝BC+CF＝3+2＝5（cm），AB＝2（cm），连接AF， 在Rt△ABF中，AF?BF?AB?5?2?29?5.39 ∴AF＝5.39（cm），连接AC， ∵AF 比较丙生与丁生的计算结果，我认为丙生的说法正确。 在△ABC中，AB＝13，BC＝10，BC边上的中线AD＝12。你能说明AB＝AC吗？ 222222
八年级数学第一章 勾股定理 第二、三节北师大版
