a?b?(x1?x2,y1?y2)
两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.
设基底为i、j，则a?b?(x1i?y1j)?(x2i?y2j)?(x1?x2)i?(y1?y2)j 即a?b?(x1?x2,y1?y2)，同理可得a?b?(x1?x2,y1?y2) （2） 若A(x1,y1)，B(x2,y2)，则AB??x2?x1,y2?y1?
一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标.
AB=OB?OA=( x2， y2) ? (x1，y1)= (x2? x1， y2? y1)
（3）若a?(x,y)和实数?，则?a?(?x,?y).
实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. 设基底为i、j，则?a??(xi?yj)??xi??yj，即?a?(?x,?y)
第6课时
§2.3.4 平面向量共线的坐标表示
一、复习引入： 1．平面向量的坐标表示
分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底.任作一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使得a?xi?yj 把(x,y)叫做向量a的（直角）坐标，记作a?(x,y)
其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标， 特别地，
i?(1,0)，j?(0,1)，0?(0,0).
2．平面向量的坐标运算
若a?(x1,y1)，b?(x2,y2)，
则a?b?(x1?x2,y1?y2)，a?b?(x1?x2,y1?y2)，?a?(?x,?y). 若A(x1,y1)，B(x2,y2)，则AB??x2?x1,y2?y1? 二、讲解新课：
???a∥b (b?0)的充要条件是x1y2-x2y1=0
????设a=(x1， y1) ，b=(x2， y2) 其中b?a.
??x1??x2?由a=λb得， (x1， y1) =λ(x2， y2) ?? 消去λ，x1y2-x2y1=0
?y1??y2?探究：（1）消去λ时不能两式相除，∵y1， y2有可能为0， ∵b?0 ∴x2， y2中至少有
一个不为0
（2）充要条件不能写成
y1y2? ∵x1， x2有可能为0 x1x2???(3)从而向量共线的充要条件有两种形式：a∥b (b?0)?
a??b
x1y2?x2y1?0§2.4平面向量的数量积
一、 平面向量的数量积的物理背景及其含义
一、复习引入：
??1． 向量共线定理 向量b与非零向量a共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使??b=λa.
2．平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2使a=λ1e1+λ2e2 3．平面向量的坐标表示
分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底.任作一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使得a?xi?yj 把(x,y)叫做向量a的（直角）坐标，记作a?(x,y) 4．平面向量的坐标运算
若a?(x1,y1)，b?(x2,y2)，则a?b?(x1?x2,y1?y2)，a?b?(x1?x2,y1?y2)，
??
?a?(?x,?y).
若A(x1,y1)，B(x2,y2)，则AB??x2?x1,y2?y1?
???5．a∥b (b?0)的充要条件是x1y2-x2y1=0
6．线段的定比分点及λ
P1， P2是直线l上的两点，P是l上不同于P1， P2的任一点，存在实数λ，
使 P1P=λPP2，λ叫做点P分P1P2所成的比，有三种情况：
λ>0(内分) (外分) λ<0 (λ<-1) ( 外分)λ<0 (-1<λ<0)
7. 定比分点坐标公式：
若点P１(x1，y1) ，Ｐ２(x2，y2)，λ为实数，且P1P＝λPP2，则点P的坐标为（
x1??x2y1??y2,），我们称λ为点P分P1P2所成的比.
1??1??8. 点P的位置与λ的范围的关系：
①当λ＞０时，P1P与PP2同向共线，这时称点P为P1P2的内分点.
②当λ＜０(???1)时，P1P与PP2反向共线，这时称点P为P1P2的外分点. 9.线段定比分点坐标公式的向量形式：
在平面内任取一点O，设OP 1＝ａ，OP2＝ｂ，可得OP=
a??b1??a?b.
1??1??1??10．力做的功：W = |F|?|s|cos?，?是F与s的夹角. 二、讲解新课：
1．两个非零向量夹角的概念
已知非零向量ａ与ｂ，作OA＝ａ，OB＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角.
说明：（1）当θ＝０时，ａ与ｂ同向；
（2）当θ＝π时，ａ与ｂ反向；
（3）当θ＝
?时，ａ与ｂ垂直，记ａ⊥ｂ； 2（4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的.范围0?≤?≤180?
C
2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a||b|cos?叫ａ与ｂ的数量积，记作a?b，即有a?b = |a||b|cos?，
（０≤θ≤π）.并规定0与任何向量的数量积为0. ?探究：两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别
（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos?的符号所决定.
（2）两个向量的数量积称为内积，写成a?b；今后要学到两个向量的外积a×b，而a?b是两个向量的数量的积，书写时要严格区分.符号“· ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替.
（3）在实数中，若a?0，且a?b=0，则b=0；但是在数量积中，若a?0，且a?b=0，不能推出b=0.因为其中cos?有可能为0.
（4）已知实数a、b、c(b?0)，则ab=bc ? a=c.但是a?b = b?c 如右图：a?b = |a||b|cos? = |b||OA|，b?c = |b||c|cos? = |b||OA|
? a?b = b?c 但a ? c
(5)在实数中，有(a?b)c = a(b?c)，但是(a?b)c ? a(b?c)
显然，这是因为左端是与c共线的向量，而右端是与a共线的向量，而一般a与c不共
线.
3．“投影”的概念：作图
a = c
定义：|b|cos?叫做向量b在a方向上的投影.
投影也是一个数量，不是向量；当?为锐角时投影为正值；当?为钝角时投影为负值；当?为直角时投影为0；当? = 0?时投影为 |b|；当? = 180?时投影为 ?|b|.
4．向量的数量积的几何意义：
数量积a?b等于a的长度与b在a方向上投影|b|cos?的乘积. 5．两个向量的数量积的性质：
设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量. 1? e?a = a?e =|a|cos? 2? a?b ? a?b = 0
3? 当a与b同向时，a?b = |a||b|；当a与b反向时，a?b = ?|a||b|. 特别的a?a = |a|2或|a|?a?a
4? cos? =
a?b
|a||b|5? |a?b| ≤ |a||b|
二、平面向量数量积的运算律
一、复习引入：
1．两个非零向量夹角的概念
已知非零向量ａ与ｂ，作OA＝ａ，OB＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角.
2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a||b|cos?叫ａ与ｂ的数量积，记作a?b，即有a?b = |a||b|cos?，
（０≤θ≤π）.并规定0与任何向量的数量积为0. 3．“投影”的概念：作图
C
定义：|b|cos?叫做向量b在a方向上的投影.
投影也是一个数量，不是向量；当?为锐角时投影为正值；当?为钝角时投影为负值；当?为直角时投影为0；当? = 0?时投影为 |b|；当? = 180?时投影为 ?|b|. 4．向量的数量积的几何意义：
数量积a?b等于a的长度与b在a方向上投影|b|cos?的乘积. 5．两个向量的数量积的性质：
设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量. 1? e?a = a?e =|a|cos?； 2? a?b ? a?b = 0
(完整word)高中数学必修4第二章平面向量教案完整版
