§2.1 平面向量的实际背景及基本概念
1、数量与向量的区别：
数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小； 向量有方向，大小，双重性，不能比较大小. 2.向量的表示方法：
①用有向线段表示；②用字母ａ、ｂ（黑体，印刷用）等表示； ③用有向线段的起点与终点字母：AB；
④向量AB的大小――长度称为向量的模，记作|AB|.
3.有向线段：具有方向的线段就叫做有向线段，三个要素：起点、方向、长度. 向量与有向线段的区别：
（1）向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；
（2）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段.
4、零向量、单位向量概念：
①长度为0的向量叫零向量，记作0. 0的方向是任意的. 注意0与0的含义与书写区别.
②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量. 说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小. 5、平行向量定义：
①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行.
说明：（1）综合①、②才是平行向量的完整定义；（2）向量ａ、ｂ、ｃ平行，记作ａ∥ｂ∥ｃ.
6、相等向量定义：
长度相等且方向相同的向量叫相等向量.
说明：（1）向量ａ与ｂ相等，记作ａ＝ｂ；（2）零向量与零向量相等；
（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有．．
向线段的起点无关. ．．．．．．．．
7、共线向量与平行向量关系：
平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段的．．．．．．起点无关）. ．．．．．
说明：（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；（2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.
a
A(起点)
B
（终点）
§2.2.1 向量的加法运算及其几何意义
二、探索研究：
１、向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法. ２、三角形法则（“首尾相接，首尾连”）
如图，已知向量a、ｂ.在平面内任取一点A，作AB＝a，BC＝ｂ，则向量AC叫做a与ｂ的和，记作a＋ｂ，即 a＋ｂ?AB?BC?AC，规定： a + 0-= 0 + a
探究：（1）两相向量的和仍是一个向量；
（2）当向量a与b不共线时，a+b的方向不同向，且|a+b|<|a|+|b|； （3）当a与b同向时，则a+b、a、b同向，且|a+b|=|a|+|b|，当a与b反向时，若|a|>|b|，则a+b的方向与a相同，且|a+b|=|a|-|b|；若|a|<|b|，则a+b的方向与b相同，且|a+b|=|b|-|a|.
（4）“向量平移”（自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的起点，可以推广到n个向量连加
３．例一、已知向量a、b，求作向量a+b
作法：在平面内取一点，作OA?a AB?b，则OB?a?b. ４．加法的交换律和平行四边形法则
问题：上题中b+a的结果与a+b是否相同？ 验证结果相同 从而得到：１）向量加法的平行四边形法则（对于两个向量共线不适应）
a
b a
O b a a A b
B
ｂ A a
ａa ｂ B
a C b a+b
a b a+b
２）向量加法的交换律：a+b=b+a ５．向量加法的结合律：(a+b) +c=a+ (b+c) 证：如图：使AB?a， BC?b， CD?c
则(a+b) +c=AC?CD?AD，a+ (b+c) =AB?BD?AD ∴(a+b) +c=a+ (b+c)
从而，多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行.
第3课时
§2.2.2 向量的减法运算及其几何意义
1． 用“相反向量”定义向量的减法
（1） “相反向量”的定义：与a长度相同、方向相反的向量.记作 ?a （2） 规定：零向量的相反向量仍是零向量.?(?a) = a. 任一向量与它的相反向量的和是零向量.a + (?a) = 0 如果a、b互为相反向量，则a = ?b， b = ?a， a + b = 0 （3） 向量减法的定义：向量a加上的b相反向量，叫做a与b的差. 即：a ? b = a + (?b) 求两个向量差的运算叫做向量的减法. 2． 用加法的逆运算定义向量的减法： 向量的减法是向量加法的逆运算：
若b + x = a，则x叫做a与b的差，记作a ? b 3． 求作差向量：已知向量a、b，求作向量 ∵(a?b) + b = a + (?b) + b = a + 0 = a
作法：在平面内取一点O， 作OA= a， AB= b
a b
B
b a?b O a 则BA= a ? b 即a ? b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量.
4． 探究：
１）如果从向量a的终点指向向量b的终点作向量，那么所得向量是b ? a.
a b O
a?b
A ?b B
B
a b a?b O B
A
B’
O
a?b
A B
a?b O
A ２）若a∥b， 如何作出a ? b
§2.3.1 平面向量基本定理
复习引入：
1．实数与向量的积：实数λ与向量a的积是一个向量，记作：λa
（1）|λa|=|λ||a|；（2）λ>0时λa与a方向相同；λ<0时λa与a方向相反；λ=0时λ
?????????a=0
2．运算定律
?????????结合律：λ(μa)=(λμ)a ；分配律：(λ+μ)a=λa+μa， λ(a+b)=λa+λb
??3. 向量共线定理 向量b与非零向量a共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使??b=λa.
平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2使a=λ1e1+λ2e2. 探究：
(1) 我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底； (2) 基底不惟一，关键是不共线；
(3) 由定理可将任一向量a在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解； (4) 基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ2是被a，e1，e2唯一确定的数量
???
§2.3.2—§2.3.3 平面向量的正交分解和坐标表示及运算
一、复习引入：
1．平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2使a=λ1e1+λ2e2
(1)我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底； (2)基底不惟一，关键是不共线；
(3)由定理可将任一向量ａ在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解； (4)基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ2是被a，e1，e2唯一确定的数量 二、讲解新课： 1．平面向量的坐标表示
如图，在直角坐标系内，我们分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底.任作一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使得
1 a?xi?yj…………○
我们把(x,y)叫做向量a的（直角）坐标，记作
2 a?(x,y)…………○
2式叫做向其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，○量的坐标表示.与．a相等的向量的坐标也为．．．．．．．．．．(x,y). 特别地，i?(1,0)，j?(0,1)，0?(0,0).
???如图，在直角坐标平面内，以原点O为起点作OA?a，则点A的位置由a唯一确定.
设OA?xi?yj，则向量OA的坐标(x,y)就是点A的坐标；反过来，点A的坐标(x,y)也就是向量OA的坐标.因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示.
2．平面向量的坐标运算
（1） 若a?(x1,y1)，b?(x2,y2)，则a?b?(x1?x2,y1?y2)，
(完整word)高中数学必修4第二章平面向量教案完整版
