2024届高考数学专题复习《解析几何典例剖析及备考策略》

由天下分享时间：2025/1/15 2:49:42 加入收藏我要投稿点赞

近几年解析几何的试题，小题难度有所增加，解答题在难度、计算的复杂程度等方面都有所下降（特别是2024年开始理科解析几何大题位置的前移导致难度下降更为明显），但突出对解析几何基本思想和基本方法的考查，重点要掌握解析几何的一些基本方法来解决问题，解析几何中解题的基本方法有解析法、待定系数法、变换法、参数法等方法。在复习时应做到牢固掌握圆锥曲线定义；重视基础知识，基本题型的训练；注意课本典型例题、习题的延伸，教材中的例题、习题虽然大多比较容易，但其解法往往具有示范性，可延伸性，适当地编拟题组进行复习训练，有利于系统地掌握知识，融会贯通；注意转化条件，优化解题方法。

解析几何中有一些基本问题，如两直线垂直的证明、求弦的中点、弦长的计算等等，对这些问题的处理方法要做到熟知。但有不少题目，所给的条件无法直接使用，或者使用起来比较困难，此时，可考虑对条件进行适当的转化，使解题过程纳入到学生所熟悉的轨道。强化数学思想方法的训练和运用，譬如：函数与方程思想，解析几何的研究对象和方法决定了它与函数、方程的“不解之缘”，很多解析几何问题实际上就是建立方程后研究方程的解或建立函数后研究函数的性质。又如：分类讨论思想，解析几何中，有些公式，性质是有适用条件的，解题时必须注意分类讨论、区别处理。例如直线方程的点斜式、斜截式中斜率必须存在，截距式只适用在两轴上的截距存在且不为零的情况，两点式不适用于与坐标轴垂直的直线。再如：数形结合思想，解析几何的本质就是将“数”与“形”有机地联系起来，曲线的几何特征必然在方程、函数或不等式中有所反映，而函数、方程或不等式的数字特征也一定体现出曲线的特性。

总之，解析几何题综合性强、应用面广，有些题目对运算求解能力要求高、有些题目对推理论证能力要求高，所以在高三复习中，要在狠抓落实上下功夫，既要注重基础，又要有所创新提高，既要注重通性通法，又要注意技巧锻炼，要做到灵活多变，培养学生养成良好的学习习惯，自觉地运用数学思想方法进行分析、推理、运算，指导同学的复习，提高效率。

一、典型问题剖析

圆的问题主要是定义和性质；圆锥曲线（椭圆、抛物线、双曲线）主要是曲线的定义、标准方程、曲线性质（焦点、离心率、准线、渐近线）；综合性问题主要是位置关系、范围、面积、定点、定值等。下面举几个例子说明．

（一）离心率问题

x2y2【例1】（2017年全国卷Ⅰ理15）已知双曲线C：2?2?1ab（a>0，b>0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点．若∠MAN=60°，则C的离心率为________．

解析：如图所示，ΔMAN为等腰三角形，OA?a，AN?AM?b，因为?MAN?60o，

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3所以AP?b，OP?2AP32tan???OA?PA?a?b．所以OP42223b2， 322a?b43b2bb2?，解得a2?3b2．所以e?1?b?1?1?23．又因为tan??，所以a3a33a2a2?b24【评析】本题主要考查以离心率为背景的双曲线的概念与性质．解题的关键是：合理构建符合题意的图像，挖掘几何性质，从中转化抽象出参数a,b,c的等量关系式；注意用好双曲线中与参数有关的几个不变量：（1）双曲线的焦点到渐近线的距离是b；（2）双曲线的顶点到渐近线的距离是值角度令关联基本量b?2，则可大幅度减小计算量．

（二）面积最值

x2y2【例2】（2016年全国卷Ⅱ理20）已知椭圆E:??1的焦点在x轴上，A是E的左顶点，斜率为

t3ab．（3）本题从特殊ck(k?0)的直线交E于A，M两点，点N在E上，MA?NA．

（1）当t?4，AM?AN时，求△AMN的面积；（2）当2AM?AN时，求k的取值范围．

解析：（1）解法一：当t?4时，由于AM?AN，根据对称性可知kAM?1， ?x2y2?1,??42 得3x2?4?x+2??12?0?7x2+16x+4=0，所以xM?xA?．所以?437?y?x?2,?21?2?144又xA??2，所以xM??，所以S△AMN?2?????2??．

72?749?2解法二：设点M?x0，y0?，且MN交x轴于点D．因为AM?AN，且AM?AN，

222x0y012?3x0所以MD?AD，MD?AD ．由+?1，得y0?．

432又AD??2?x0?2?x0，所以212?3x022?2?x0，解之得x0??2或?． 72121?12?144所以AD? ，所以S△AMN?2?????．

72?7?49（2）设直线x?my?a，m?1，a?t． k?x?my?a,?22223?my?a??a2y2?3a2?0，?3m?a?y?6may?0，则?x2y2?1,?2?3?a 2 / 21

6a?6ma?n6may??N2所以yM?2；同理a2m2?3． ?1?3m?a223???a?m?因为2AM?AN，所以21?m2?3?m2?2m?2m3?16ma1?6ma?1??．

3m2?a2m2a2m2?3?a2??3?111?m?3，所以k??m22?32，2．

?【评析】解决圆锥曲线中最值、范围问题的基本思想是建立目标函数和建立不等关系，根据目标函数和不等式求最值、范围，因此这类问题的难点，就是如何建立目标函数和不等关系．建立目标函数或不等关系的关键是选用一个合适变量，其原则是这个变量能够表达要解决的问题，这个变量可以是直线的斜率、直线的截距、点的坐标等，要根据问题的实际情况灵活处理．

（三）定点问题

【例3】（2017福建省质检）已知点F?1,0?，直线l:x??1，直线l?垂直l于点P，线段PF的垂直平分线交l?于点Q．

（1）求点Q的轨迹C的方程；

（2）已知点H?1,2?，过F且与x轴不垂直的直线交C于A,B两点，直线AH,BH分别交l于点M,N，求证：以MN为直径的圆必过定点．

【解析】（1）依题意得QP?QF，即Q到直线l:x??1的距离与到点F的距离相等，所以点Q的轨迹是以F为焦点， l为准线的抛物线．

2设抛物线方程为y?2px(p?0)，则p?2，即点Q的轨迹C的方程是y2?4x．

-1PyyPCBHNFx-1AFxM22（2）由题意可设直线AB:x?my?1?m?0?，代入y?4x，得y?4my?4?0，

2y12y2设A(,y1),B(,y2)，则y1?y2?4m,y1y2??4；

44又H?1,2?，设直线AH,BH的斜率分别为k1,k2，则k1?y1?2y2?244?,k??22y1?2y2?2，设M??1,yM?,N??1,yN?， y12y2?1?144 3 / 21

令x??1，得yM?2?2?y2?2?2?y1?2?88??；同理，得yN?2?， y2?2y2?2y1?2y1?2从而yMyN?y1y2?2?y1?y2??4?2?y1?2?2?y2?2?4???4??4?2?4m?4???4·??；

y1?2y2?2y1y2?2?y1?y2??4?4?2?4m?4yM?yN?(2??4?8811)?(2?)?4?8(?) y1?2y2?2y1?2y2?28[(y1?y2)?4]8?4m?4?4

??． ?4?y1y2?2?y1?y2??4?4?2?4m?4m

2又以MN为直径的圆的方程为： ?x?1???y?yM??y?yN??0，

yN??x?1??0，即x2?2x?3?y2?即y2??yM?yN?y?yM·24y?0， m令??y?0,22?x?2x?3?y?0,解得x??3或x?1，从而以MN为直径的圆恒过定点??3,0?和?1,0?．

【评析】该类问题多以直线与圆锥曲线为背景，常与函数与方程、向量等知识交汇，形成了过定点、定值等问题的证明．难度较大．定点、定值问题是在变化中所表现出来的不变的量，那么就可以用变化的量表示问题的直线方程、数量积、比例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系不受变化的量所影响的一个点、一个值，就是要求的定点、定值．化解这类问题难点的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量．

（四）定值问题

【例4】（2024年全国Ⅰ卷第21题）已知点A,B关于坐标原点O对称，|AB|?4，⊙M过点A,B且与直线x?2?0相切．

（1）若A在直线x?y?0上，求⊙M的半径；

（2）是否存在定点P，使得当A运动时，|MA|?|MP|为定值？并说明理由．

解析：（1）因为eM过点A,B，所以圆心M在AB的垂直平分线上.由已知A在直线x+y=0上，且A,B关于坐标原点O对称，所以M在直线y?x上，故可设M(a, a).

因为eM与直线x+2=0相切，所以eM的半径为r?|a?2|.

uuuuruuur22由已知得|AO|=2，又MO?AO，故可得2a?4?(a?2)，解得a=0或a=4.

故eM的半径r=2或r=6.

（2）存在定点P(1,0)，使得|MA|?|MP|为定值. 理由如下：

设M(x, y)，由已知得eM的半径为r=|x+2|,|AO|=2.

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uuuuruuur2222由于MO?AO，故可得x?y?4?(x?2)，化简得M的轨迹方程为y?4x.