傅里叶分布抛物方程法的准三维研究
黄 颖
【摘 要】文章介绍了二维抛物方程的傅里叶分步法，提出了一种基于二维方法的准三维研究方法。将三维图形分解为两个二维图形。首先通过二维方法解决圆锥的主视图(三角形)和俯视图(圆形)的电波传播问题，将主视图和俯视图的计算结果分别与参考文献[5]和HFSS中的模型进行对比，从而验证其正确性。该方法比二维的研究范围更广，同时比直接使用三维公式求解简单。 【期刊名称】微型机与应用 【年(卷),期】2017(036)003 【总页数】4
【关键词】电波传播；抛物方程；傅里叶分步法；准三维
0 引言
抛物方程法(Parabolic Equation,PE)是近年来研究电波传播常用的一种数值方法。通过对波动方程近似得到关于传播方向一阶导数的抛物型方程[1]。 目前，求解抛物方程的方法主要有傅里叶分步法 (Fourier Split-Step, SSFT)和有限差分分解法(Finite Difference, FD)。SSFT算法和FD算法均为步进迭代计算的方法，但各自有不同的特点。SSFT算法对步进的限制非常宽松，允许相对较大的水平步长，因而计算速度很快，且数值稳定性高。虽然FD算法对于复杂的地表边界条件的处理比较简单，但步进会受到电波波长的限制，网格划分较细，计算速度慢。且FD算法需要大量的矩阵运算，对于计算机硬件也有一定的要求。此外，PE方法是一个定解问题，也就是说，若给出已知的初始场条件和边界条件，就能够通过数值算法求得定解。因此在求解远距离、大范围
的电波传播问题时，抛物方程主要采用 SSFT 来进行求解[2]。
目前采用SSFT研究大型不规则地面的电波传播问题都是基于二维。虽然SSFT算法计算速度很快，且数值稳定性高，但二维模型无法反应横向媒质产生的横向散射等效应，且三维模型不需要专门寻找三维地形对电波传播产生反射或绕射的区域，也不需要设置各种传播机制的判据，因此该方法计算量相对较小，求解精度更高[1-7]。近年来对三维抛物方程电波传播问题的研究越来越受重视[8-9]，但三维模型的分析求解过程比二维复杂，本文提出一种准三维方法，即通过研究三维图形的主视图和俯视图将三维问题视作两个二维问题，分别对这两个二维问题进行研究，最终将其传播因子数值在相同高度处进行相加，即准三维。
本文首先介绍二维傅里叶分布抛物方程法的求解公式，然后提出用准三维方法研究圆锥形障碍物的电波传播问题，从视图的角度将圆锥问题分解为三角形和圆形。将三角形的传播因子曲线与文献[5]相比较，验证其正确性；并通过在HFSS中建立模型验证圆形障碍物电波传播的正确性。该方法比二维的研究范围更广，同时比直接使用三维公式求解简单。
1 理论分析
抛物方程是已知源点x=0处的波，求解与其相距不远处的下一点波的大小。通过步进迭代法可以得到距离x=0处的下一点x+Δx的波动大小近似为： (1)
其中，u是波幅度，x和z分别表示横向和纵向(传播方向)坐标；k0是自由空间中的波数；F代表快速傅里叶变换(FFT)，p表示转换变量，p=ksinθ中θ是距离水平面的角度；m是由m=n2-1+2z/ae折射指数变换而来，其中n是折
射指数，ae是地球半径[9]。
图1是利用文献[5]的参数，将三维模型转化为二维模型的过程，其中(a)是目标物体圆锥，圆锥的底面是半径为2.5 km的圆，高是50 m，源的高度为10 m；(b)和(c)分别是圆锥在(x,z)面(主视图)和(x,y)面(俯视图)的三角形和圆形。另外，图1中俯视图的高度设置为点源处，因此图1(c)中的半径为2 km。
对图1(b)和(c)进行分析时，其计算区域不同，采用相同天线，假设电波在平面地表上传播，其参数是：频率为100 MHz、水平极化、垂直波数宽度为10°的高斯天线。迭代步长Δx=50 m，物体表面为理想导体表面，地面近似为平地面。
2 三角形模型的分析
图1中三角形模型的计算区域是30 km×500 m。计算中使用的天线参数如上节所述。对主视图中三角形障碍物的电波传播进行分析计算。
主视图中的发射天线高度设为10 m。图2所示是底边长为5 km，高度为50 m，起点在坐标原点的三角形障碍物电波传播的伪彩图。该图提供了足够好的倾斜地形采样。峰值衍射和阴影引起的场变化尖锐，特点正确明显。 图3为传播距离为5 km处的传播因子图。
从图3的曲线可看出本文中的计算结果与文献[5]的结果非常吻合。
3 圆形模型的分析
俯视图中发射天线高度设为2.5 km，圆形模型的计算区域是5 km×5 km。其天线的参数与三角形模型的相同。用傅里叶分布抛物方程法得到在传播距离为5 km处圆形障碍物的传播因子。
为了验证使用抛物方程法(PE)计算圆形障碍物电波传播的正确性，本文利用了HFSS的仿真和计算。在HFSS中建立立方体辐射边界，使用偶极子天线作为
傅里叶分布抛物方程法的准三维研究
