2011年普通高等学校招生全国统一考试（新课标全国卷）
理科数学
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的． （1）复数
2?i? 1?2i353i （C）?i （D）i 5（A）?i （B）
（2）下列函数中，既是偶函数又在(0,??)单调递增的函数是
（A）y?x3 （B）y?|x|?1 （C）y??x2?1 （D）y?2?|x| （3）执行右面的程序框图，如果输入的N是6，那么输出的p是
（A）120 （B） 720 （C） 1440 （D） 5040 （4）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小
组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为 （A）
1123 （B） （C） （D） 3234（5）已知角?的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，
终边在直线y?2x上，则cos2?= （A） ?4334 （B）? （C） （D）
5555（6）在一个几何体的三视图中，正视图与俯视图如右图所示，则相应的侧视图可以为
正视图俯视图ABCD
（7）已知直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A，|AB|B两点，
为C的实轴长的2倍，C的离心率为
（A）2 （B）3 （C） 2 （D） 3
（8）(x?)(2x?)的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为
（A）—40 （B）—20 （C）20 （D）40 （9）曲线y?（A）
ax1x5x，直线y?x?2及y轴所围成的图形的面积为
1016 （B）4 （C） （D） 6 33（10）已知a，b均为单位向量，其夹角为?，有下列四个命题
p1:|a?b|?1???[0,2?2?) p2:|a?b|?1???(,?] 33??p3:|a?b|?1???[0,) p4:|a?b|?1???(,?]
33其中真命题是
（A） p1,p4 （B） p1,p3 （C） p2,p3 （D） p2,p4 （11）设函数f(x)?sin(?x??)?cos(?x??)(??0,|?|?且f(?x)?f(x)则 （A）y?f(x)在(0,（C）y?f(x)在(0,（12）函数y?等于
（A）2 （B）4 （C）6 （D）8
?2)的最小正周期为?，
???3?)单调递减 （B）y?f(x)在(,)单调递减 244?3?)单调递增 （D）y?f(x)在(,)单调递增 2444)的图象所有交点的橫坐标之和
1的图象与函数y?2sin?x(?2剟x1?x第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分．第13题-第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题-第24题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
?3?2x?y?9（13）若变量x，y满足约束条件?，则z?x?2y的最小值是_________．
6?x?y?9?（14）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1,F2在x轴上，离心率为
2lC于A，B两点，且?ABF2的周长为16，那么C的方程为．过点F1的直线交
2_________．
（15）已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且AB=6，BC=23，则棱锥O?ABCD的体积为_____________．
（16）?ABC中，B?60?,AC?3,，则AB+2BC的最大值为_________． 三、解答题：解答应写文字说明，证明过程或演算步骤． （17）（本小题满分12分）
已知等比数列{an}的各项均为正数，且2a1?3a2?1,a32?9a2a6． （I）求数列{an}的通项公式．
（II）设bn?log3a1?log3a2???log3an，求数列{}的前n项和．
（18）（本小题满分12分）
如图，四棱锥P?ABCD中，底面ABCD为平行四边形，?DAB?60?，AB?2AD，
1bnPD?底面ABCD
（I）证明：PA?BD；
（II）若PD?AD，求二面角A?PB?C的余弦值．
（19）（本小题满分12分）
某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品．现用两种新配方（分别称为A配方和B配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每产品的质量指标值，得到时下面试验结果：
A配方的频数分布表
指标值分组 频数 [90,94） 8 [94,98） 20 [98,102） 42 [102,106） 22 [106,110] 8 B配方的频数分布表
指标值分组 频数 [90,94） 4 [94,98） 12 [98,102） 42 [102,106） 32 [106,110] 10 （I）分别估计用A配方，B配方生产的产品的优质品率； （II）已知用B配方生产的一种产品利润y（单位：元）与其质量指标值t的关系式为
??2,t?94?y??2,94?t?102
?4,t?102?从用B配方生产的产品中任取一件，其利润记为X（单位：元）．求X的分布列及数学期望．（以试验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率）．
（20）（本小题满分12分）
在平面直角坐标系xOy中， 已知点A(0,?1)，B点在直线y??3上，M点满足
????????????????????????MB//OA，MA?AB?MB?BA，M点的轨迹为曲线C．
（I）求C的方程；
（II）P为C上动点，l为C在点P处的切线，求O点到l距离的最小值．
（21）（本小题满分12分）
已知函数f(x)?alnxb?，曲线y?f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为 x?1xx?2y?3?0．
（I）求a,b的值；
（II）如果当x?0，且x?1时，f(x)?lnxk?，求k的取值范围． x?1x请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑． （22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，D，E分别为?ABC的边AB，AC上的点，且不与?ABC的顶点重合．已知AE的长为m，AC的长为n，
AD，AB的长是关于x的方程x2?14x?mn?0的两个
根．
（I）证明：C,B,D,E四点共圆；
（II）若?A?90?，且m?4,n?6,求C,B,D,E所在圆的半径．
（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
?x?2cos?在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为?，M为C1上(?为参数）
y?2?2sin???????????的动点，P点满足OP?2OM，点P的轨迹为曲线C2．
（I）求C2的方程；
（II）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线??点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求|AB|.
（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
设函数f(x)?|x?a|?3x，其中a?0．
（I）当a?1时，求不等式f(x)?3x?2的解集． （II）若不等式f(x)?0的解集为｛x|x??1}，求a的值．
?3与C1的异于极
2011年高考新课标全国卷理科数学试题（附答案）
