[基础题组练]
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1．已知幂函数f(x)＝k·xα的图象过点?，?，则k＋α＝( )
?22?13
A. B．1 C. D．2 22
12α解析：选C.因为函数f(x)＝k·x是幂函数，所以k＝1，又函数f(x)的图象过点?，?，
?22?1?213所以?＝，解得α＝，则k＋α＝. ?2?222
2．若幂函数f(x)＝x(m，n∈N*，m，n互质)的图象如图所示，则( )
m
n
α
m
A．m，n是奇数，且<1 nm
B．m是偶数，n是奇数，且>1
nm
C．m是偶数，n是奇数，且<1
nm
D．m是奇数，n是偶数，且>1 n
m
解析：选C.由图知幂函数f(x)为偶函数，且<1，排除B，D；当m，n是奇数时，幂函
n数f(x)非偶函数，排除A；选C.
3．若函数f(x)＝x2＋bx＋c对任意的x∈R都有f(x－1)＝f(3－x)，则以下结论中正确的是( )
A．f(0) B．f(－2) 解析：选A.若函数f(x)＝x2＋bx＋c对任意的x∈R都有f(x－1)＝f(3－x)，则f(x)＝x2＋bx＋c的图象的对称轴为x＝1且函数f(x)的图象的开口方向向上，则函数f(x)在(1，＋∞)上为增函数，所以f(2) 4．(2024·瑞安四校联考)定义域为R的函数f(x)满足f(x＋1)＝2f(x)，且当x∈[0，1]时，f(x)＝x2－x，则当x∈[－2，－1]时，f(x)的最小值为( ) 1A．－ 16 1B．－ 8 1C．－ 4 D．0 解析：选A.当x∈[－2，－1]时，x＋2∈[0，1]，则f(x＋2)＝(x＋2)2－(x＋2)＝x2＋3x＋1 2，又f(x＋2)＝f[(x＋1)＋1]＝2f(x＋1)＝4f(x)，所以当x∈[－2，－1]时，f(x)＝(x2＋3x＋2) 41?3?2131 ＝?x＋2?－，所以当x＝－时，f(x)取得最小值，且最小值为－，故选A. 416216 5．若函数f(x)＝x2－2x＋1在区间[a，a＋2]上的最小值为4，则a的取值集合为( ) A．[－3，3] C．{－3，3} B．[－1，3] D．{－1，－3，3} 解析：选C.因为函数f(x)＝x2－2x＋1＝(x－1)2，对称轴为x＝1，因为在区间[a，a＋2]上的最小值为4，所以当1≤a时，ymin＝f(a)＝(a－1)2＝4，a＝－1(舍去)或a＝3，当a＋2≤1时，即a≤－1，ymin＝f(a＋2)＝(a＋1)2＝4，a＝1(舍去)或a＝－3，当a<1 6．(2024·温州高三月考)已知f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)，g(x)＝f(f(x))，若g(x)的值域为[2，＋∞)，f(x)的值域为[k，＋∞)，则实数k的最大值为( ) A．0 C．2 B．1 D．4 解析：选C.设t＝f(x)，由题意可得g(x)＝f(t)＝at2＋bt＋c，t≥k， 函数y＝at2＋bt＋c，t≥k的图象为y＝f(x)的图象的部分，即有g(x)的值域为f(x)的值域的子集， 即[2，＋∞)?[k，＋∞)， 可得k≤2，即有k的最大值为2. 故选C. 7．已知幂函数f(x)＝x2，若f(a＋1) － － 1 1 1 (x>0)，易知x∈(0，＋∞)时为减函数，又f(a＋1) 所以?10－2a>0，解得?a<5，所以3 ???a＋1>10－2a，?a>3， 答案：(3，5) 8．已知函数f(x)＝x2－2ax＋2a＋4的定义域为R，值域为[1，＋∞)，则a的值为________． 解析：由于函数f(x)的值域为[1，＋∞)，所以f(x)min＝1.又f(x)＝(x－a)2－a2＋2a＋4，当x∈R时，f(x)min＝f(a)＝－a2＋2a＋4＝1，即a2－2a－3＝0，解得a＝3或a＝－1. 答案：－1或3 1 9．(2024·杭州四中第一次月考)已知函数f(x)＝x2＋ax＋1，若存在x0使|f(x0)|≤，|f(x0 41 ＋1)|≤同时成立，则实数a的取值范围为________． 4 a4－a112＋h，当h＝0时，有?g?－??≤，x＋?＋解析：由f(x)＝?，考察g(x)＝x?2???2??44 2 2 ?g?－1＋1??≤1同时成立；当h＝－1时，有?g?－1??≤1，|g(－1＋1)|≤1同时成立．所以－ ??2??4??2??4224 114－a2≤h≤0，即－≤≤0，解得－6≤a≤－2或2≤a≤6. 224 答案：[－6，－2]∪[2，6] 3x ，＋∞?，f??－4m2f(x)≤f(x－1)＋4f(m)恒成立，10．设函数f(x)＝x2－1，对任意x∈??2??m?则实数m的取值范围是________． 3x2 ，＋∞?上恒成解析：依据题意，得2－1－4m2(x2－1)≤(x－1)2－1＋4(m2－1)在x∈??2?m立，即 31322≤－－＋1在x∈?，＋∞?上恒成立． －4m?2?m2x2x 3325 当x＝时，函数y＝－2－＋1取得最小值－， 2xx315 所以2－4m2≤－，即(3m2＋1)(4m2－3)≥0， m3解得m≤－33 或m≥. 22 3??3?∪，＋∞ 2??2? －1 答案：?－∞，－ ? 11．已知幂函数f(x)＝(m2－5m＋7)xm(1)求f(x)的解析式； 为偶函数． (2)若g(x)＝f(x)－ax－3在[1，3]上不是单调函数，求实数a的取值范围． 解：(1)由题意m2－5m＋7＝1，解得m＝2或m＝3， 若m＝2，与f(x)是偶函数矛盾，舍去， 所以m＝3，所以f(x)＝x2. a (2)g(x)＝f(x)－ax－3＝x2－ax－3，g(x)的对称轴是x＝， 2若g(x)在[1，3]上不是单调函数， a 则1<<3，解得2 2 12．(2024·台州市教学质量调研)已知函数f(x)＝x2＋bx＋c的图象过点(－1，3)，且关于直线x＝1对称． (1)求f(x)的解析式； (2)若m＜3，求函数f(x)在区间[m，3]上的值域． 解：(1)因为函数f(x)＝x2＋bx＋c的图象过点(－1，3)，且关于直线x＝1对称， f（－1）＝1－b＋c＝3??所以?b，解得b＝－2，c＝0， －＝1??2所以f(x)＝x2－2x. (2)当1≤m＜3时，f(x)min＝f(m)＝m2－2m， f(x)max＝f(3)＝9－6＝3， 所以f(x)的值域为[m2－2m，3]； 当－1≤m＜1时，f(x)min＝f(1)＝1－2＝－1， f(x)max＝f(－1)＝1＋2＝3， 所以f(x)的值域为[－1，3]． 当m＜－1时，f(x)min＝f(1)＝1－2＝－1， f(x)max＝f(m)＝m2－2m， 所以f(x)的值域为[－1，m2－2m]． [综合题组练] 1．(2024·台州质检)如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象过点A(－3，0)，对称轴为x＝－1.给出下面四个结论：①b2>4ac；②2a－b＝1；③a－b＋c＝0；④5a A．②④ C．②③ B．①④ D．①③ 解析：选B.因为二次函数的图象与x轴交于两点，所以b2－4ac>0，即b2>4ac，①正确；b 对称轴为x＝－1，即－＝－1，2a－b＝0，②错误；结合图象，当x＝－1时，y>0，即a 2a－b＋c>0，③错误；由对称轴为x＝－1知，b＝2a，又函数图象开口向下，所以a<0，所以5a<2a，即5a 1 2．(2024·温州市十校联考)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝(|x 2－a2|＋|x－2a2|－3a2)．若?x∈R，f(x－1)≤f(x)，则实数a的取值范围为( ) 11－，? A.??66?11－，? C.??33? B.?－ ? 66? ， 66?33? ， 33? D.?－ ? 1 解析：选B.因为当x≥0时，f(x)＝(|x－a2|＋|x－2a2|－3a2)，所以当0≤x≤a2时，f(x) 21 ＝(a2－x＋2a2－x－3a2)＝－x； 2 1 当a2＜x＜2a2时，f(x)＝(x－a2＋2a2－x－3a2)＝－a2； 21 当x≥2a2时，f(x)＝(x－a2＋x－2a2－3a2)＝x－3a2. 2 1 综上，函数f(x)＝(|x－a2|＋|x－2a2|－3a2)在x≥0时的解析式等价于f(x)＝ 2－x，0≤x≤a2，?? ?－a2，a2＜x＜2a2， ??x－3a2，x≥2a2. 因此，根据奇函数的图象关于原点对称作出函数f(x)在R上的大致图象如下， 观察图象可知，要使?x∈R，f(x－1)≤f(x)，则需满足2a2－(－4a2)≤1，解得－≤6 . 6 3．已知函数f(x)＝|x2＋ax＋b|在区间[0，c]内的最大值为M(a，b∈R，c＞0为常数)且存在实数a，b，使得M取最小值2，则a＋b＋c＝________． 解析：函数y＝x2＋ax＋b是二次函数， a 所以函数f(x)＝|x2＋ax＋b|在区间[0，c]内的最大值M在端点处或x＝－处取得． 2若在x＝0处取得，则b＝±2， aa2 若在x＝－处取得，则|b－|＝2， 24若在x＝c处取得，则|c2＋ac＋b|＝2. a2 若b＝2，则|b－|≤2，|c2＋ac＋b|≤2， 4解得a＝0，c＝0，符合要求， 若b＝－2，则顶点处的函数值的绝对值大于2，不成立． 可得a＋b＋c＝2.故答案为2. 答案：2 3 4．(2024·宁波市余姚中学高三期中)已知f(x)＝x2－3x＋4，若f(x)的定义域和值域都是 4[a，b]，则a＋b＝________． 33 解析：因为f(x)＝x2－3x＋4＝(x－2)2＋1，所以x＝2是函数的对称轴，根据对称轴进 44行分类讨论： 6 ≤a6
2024版浙江新高考数学一轮复习：第二章 4 第4讲 二次函数与幂函数
