专题22 正方形
专题知识回顾
1．正方形定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。 2．正方形的性质：
（1）具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质； （2）正方形的四个角都是直角，四条边都相等；
（3）正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角； （4）正方形是轴对称图形，有4条对称轴；
（5）正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，两条对角线把正方形分成四个全等的小等腰直角三角形；
（6）正方形的一条对角线上的一点到另一条对角线的两端点的距离相等。
3．正方形的判定
判定一个四边形是正方形的主要依据是定义，途径有两种：
先证它是矩形，再证有一组邻边相等。即有一组邻边相等的矩形是正方形 先证它是菱形，再证有一个角是直角。即有一个角是直角的菱形是正方形。
b24．正方形的面积：设正方形边长为a，对角线长为b ，S正方形=a?
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专题典型题考法及解析
【例题1】（2019湖南郴州）我国古代数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的三角形，如图所示，已知∠A＝90°，BD＝4，CF＝6，则正方形ADOF的边长是（ ）
A．√2
B．2
C．√3
D．4
【例题2】（2019?四川省凉山州）如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是OC上一点，连接EB．过点A作AM⊥BE，垂足为M，AM与BD相交于点F．求证：OE＝OF．
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专题典型训练题
一、选择题
1．（2019内蒙古包头）如图，在正方形ABCD中，AB＝1，点E，F分别在边BC和CD上，AE＝AF，∠EAF＝60°，则CF的长是（ ）
A．
B．
C．
﹣1
D．
2．（2019湖南张家界）如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形OABC绕点O顺 时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，依此方式，绕点O连续旋转2019次得到正方形 OA2019B2019C2019，那么点A2019的坐标是（ ）
A．（
，﹣
）
B．（1，0） C．（﹣
，﹣
）
D．（0，﹣1）
3.（2019?四川省广安市）把边长分别为1和2的两个正方形按图的方式放置.则图中阴影部分的面积为（ ）
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2
(A)
1 6 (B)1 3(C)11 (D) 544.（2019?贵州省铜仁市）如图，正方形ABCD中，AB＝6，E为AB的中点，将△ADE沿DE翻折得到△FDE，延长EF交BC于G，FH⊥BC，垂足为H，连接BF、DG．以下结论：①BF∥ED；②△DFG≌△DCG；③△FHB∽△EAD；④tan∠GEB＝；⑤S△BFG＝2.6；其中正确的个数是（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5\\
5．（2019黑龙江省绥化）如图，在正方形ABCD中，E、F是对角线AC上的两个动点，P是正方形四边上的任意一点，且AB＝4，EF＝2，设AE＝x．当△PEF是等腰三角形时，下列关于P点个数的说法中，一定正确的是（ ）
①当x＝0（即E、A两点重合）时，P点有6个 ②当0＜x＜42﹣2时，P点最多有9个 ③当P点有8个时，x＝22﹣2 ④当△PEF是等边三角形时，P点有4个
A．①③ 二、填空题
B．①④ C．②④ D．②③
6．（2019湖南邵阳）公元3世纪初，中国古代数学家赵爽注《周髀算经》时，创造了“赵爽弦图”．如图，设勾a=6，弦c=10，则小正方形ABCD的面积是 .
7．（2019湖南张家界）如图：正方形ABCD的边长为1，点E，F分别为BC，CD边的中点，
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连接AE，BF交于点P，连接PD，则tan∠APD＝ ．
8.（2019?湖北省随州市）如图，已知正方形ABCD的边长为a，E为CD边上一点（不与端点重合），将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG，CF．给出下列判断：
①∠EAG=45°；
②若DE=a，则AG∥CF；
③若E为CD的中点，则△GFC的面积为a2； ④若CF=FG，则DE=（⑤BG?DE+AF?GE=a2．
其中正确的是______．（写出所有正确判断的序号）
9．（2019福建）如图，边长为2的正方形ABCD中心与半径为2的⊙O的圆心重合，E、F分别是AD、BA的延长与⊙O的交点，则图中阴影部分的面积是 ．（结果保留π）
-1）a；
10.（2019?四川省凉山州）如图，正方形ABCD中，AB＝12，AE＝AB，点P在BC上运动（不与B、C重合），过点P作PQ⊥EP，交CD于点Q，则CQ的最大值为 ．
11. （2019?广东广州）如图，正方形ABCD的边长为a，点E在边AB上运动（不与点A，B重合），∠DAM
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＝45°，点F在射线AM上，且AF＝BE，CF与AD相交于点G，连接EC，EF，EG，则下列结论：
）a；
①∠ECF＝45°； ②△AEG的周长为（1+
③BE2+DG2＝EG2；④△EAF的面积的最大值a2． 其中正确的结论是 ．（填写所有正确结论的序号）
12.（2019·广西贺州）如图，正方形ABCD的边长为4，点E是CD的中点，AF平分∠BAE交BC于点F，将△ADE绕点A顺时针旋转90°得△ABG，则CF的长为 ．
13．（2019?山东青岛）如图，在正方形纸片ABCD中，E是CD的中点，将正方形纸片折叠，点B落在线段AE上的点G处，折痕为AF．若AD＝4cm，则CF的长为 cm．
14.（2019江苏镇江）将边长为1的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转到FECG的位置（如图），使得点D落在对角线CF上，EF与AD相交于点H，则HD＝ ．（结果保留根号）
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【精品】2020年中考数学复习中考数学复习中考数学复习专题22 正方形(学生版)
