最大利润问题 知识点一：当自变量为全体实数时的二次函数的最值 对于二次函数y?ax?bx?c?a?，当自变量x的取值范围是全体实数时，求它的最值，常用的方法有两?0）种：①配方法：把y?ax?bx?c(a??0）通过配方化成y?a(x?h)?k的形式，若a＞0，则当x＝h时， y最小值＝k；若a＜0，则当x＝h时，y最大值＝k。 2224ac?b2b24ac?b2b②公式法：y?a(x?若a＞0，则当x??时，y最小值?； )?4a4a，2a2a4ac?b2b若a＜0，则当x??时，y最大值? 4a2a例1求二次函数y?121x?3x?的最小值， 22解：解法1：（公式法） ?a?1b3?0, ∴当x??????3时，y最小值122a2?2114???324ac?b22????4 4a14?22解法2：（配方法） ?y?1211111x?3x??(x2?6x?1)?(x2?6x?9?9?1)?[(x?3)2?8]?(x?3)2?4 222222当x＝ -3时，y有最小值﹣4。 解法3：（判别式法） ?y?121x?3x?,?x2?6x?(1?2y)?0 22∵x是任意实数，∴△＝36－4（1－2y）≥0，∴y≥﹣4，即y有最小值﹣4。此时x2?6x?9?0，即x＝ -3 变式训练 1、求二次函数y?x?4x?5的最大值或最小值。 解：由a＝1 ＞0知，抛物线开口向上 24ac?b2?20?16b4∴当x??????2时，y有最小值，y最小值????9 4a2a2?14知识点二：当自变量在一定范围内时的二次函数的最值 对于二次函数y?ax?bx?c(a??0)，当自变量x在一定范围内取值时，求它的最值，通常要考虑函数的增24ac?b2bb减性，若自变量x的取值范围是x1≤x≤x2，则①若x1≤? ≤x2，则当x??时，y最值?4a2a2a14
②若x??b不在x1≤x≤x2范围内时，则要考虑函数在x1≤x≤x2范围内的增减性： 2a2Ⅰ．如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当x?x2时，y最大值?ax2?bx2＋c；当x?x1时，y最小值?ax12?bx1?c; 2Ⅱ．如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当x＝x1时，y最大值?ax1?bx1+c；当x?x2时，2y最小值?ax2?bx2?c 例2分别在下列范围内求函数y?x?2x?3的最大值或最小值。(1)0?x?2；(2)2≤x≤3 分析：先求出抛物线y?x?2x?3的顶点坐标，然后看横坐标是否在所规定的自变量的取值范围内，根据不同情况讨论确定最值；也可画出图象，利用图象求解。 解：?y?x?2x?3?x?2x?1?1?3?(x?2x?1)?4?(x?1)?4, ∴顶点坐标为（1，-4） （1）∵x＝1在0＜x＜2范围内，且a＝1＞0，∴当x＝1时，y有最小值，最小值为-4 ∵x＝1是0＜x＜2范围内的中点，图象在x＝1两侧均接近两端点，∴不存在最大值 （2）∵x ＝1不在2≤x≤3范围内， ∴函数y?x?2x?3(2?x?3)的图象是抛物线y＝x2?2x?3的一部分（如图实线部分所示） 又a＝1＞0，∴抛物线y?x?2x?3的开口向上，当x＞1时，y随x的增大而增大 22∴当x＝3时，y最大值?3?2?3?3?0.当x＝2时，y最小值?2?2?2?3??3. 22222222点拨：求函数在自变量某一取值范围内的最值，可根据函数增减性进行讨论，或画出函数图象，借助于图象的直观性求解。 变式训练 1、求二次函数y?x?4x?3在0≤x≤6范围内的最大值和最小值。 2（x-2)?1，顶点坐标为（2，-1） 解：∵y?x?4x?3?而x＝2在0≤x≤6范围内，且a＝1 ＞0， 2∴当x ＝2时，y有最小值，y最小值?-1.;当x＝6时，y有最大值，y最大值?6?4?6?3?15. 22知识点三：销售中的最大利润问题 利用二次函数求利润问题的一般步骤是： （1）设未知数，引入自变量； （2）用含自变量的代数式分别表示销售单价或销售量及销售收入； （3）用含自变量的代数式表示销售商品的购进成本； （4）用因变量（函数）及含自变量的代数式分别表示销售利润，列出函数关系式； 14
（5）根据函数关系式求出最值及取得最值时自变量的值。 例3（天津中考）注意：为了使同学们更好地解答本题，我们提供了一种分析问题的方法，你可以根据这个方法按要求完成本题的解答，也可以选用其他方法，按照解答题的一般要求进行解答即可。 某商品现在的售价为每件35元，每天可卖出50件．市场调查反映：如果调整价格，每降价1元，每天可多卖出2件，请你帮助分析，当每件商品降价多少元时，可使每天的销售额最大，最大销售额是多少？ 设每件商品降价x元，每天的销售额为y元． （1）分析：根据问题中的数量关系，用含x的式子填表： 每件售价（元） 每天销量（件） （2）由以上分析，用含x的式子表示y，并求出问题的解， 分析：（1）原价每件为35元，降价x元后，每件的售价为（35 -x）元，降价x元后，销量可增加2x件，所以销量为（50 +2x）件；（2）列出二次函数的表达式y＝（35 -x）（50 +2x）后，再利用二次函数的性质，求出最值，即可解决实际问题， 解：（1）第一行：35 -x；第二行：50＋2x （2）根据题意，每天的销售额y?(35－x)(50?2x)??2x?20x?1750(0?x?35) 配方，得y??2(x?5)?1800 ∴当x＝5时，y取得最大值1800 ∴当每件商品降价5元时，可使每天的销售额最大，最大销售额为1800元， 点拨：根据题意建立二次函数模型，利用二次函数性质求出最大（小）值。 22原价 35 50 每件降价1元 34 52 每件降价2元 33 54 … … … 每件降价x元 变式训练 1．某商场购进一种单价为40元的篮球，如果以单价50元售出，那么每月可售出500个，根据销售经验，售价每提高1元，销售量相应减少10个。 （1）假设销售单价提高x元，那么销售每个篮球所获得的利润是____元，这种篮球每月的销售量是__ __个；（用含x的代数式表示） （2）判断8000元是否为每月销售这种篮球的最大利润，如果是，请说明理由；如果不是，求出最大利润，此时篮球的销售单价为多少元？ 解：（1）（10+x）（500 -10x）（2）设月销售利润为y元， 由题意得y＝（10+x）（500-10x）， 整理得y??10(x?20)?9000,. （2）当x＝ 20时，y有最大值为9000，20 +50＝70 答：8000元不是最大利润，最大利润为9000元，此时篮球的销售单价为70元。 14
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九年级数学二次函数应用之最大利润问题(教师版)
