课时跟踪检测(三十六) 等比数列及其前n项和
一、题点全面练
1．(2019·武汉联考)已知{an}为等比数列，a4＋a7＝2，a5a6＝－8，则a1＋a10等于( ) A．7 C．－5
??a4＋a7＝2，
解析：选D 由?
?a5a6＝a4a7＝－8，???a4＝－2，
解得?
?a7＝4???q＝－2， ∴?
?a1＝1?
3
B．5 D．－7
??a4＝4，
或?
?a7＝－2.?
1??q3＝－，2或???a1＝－8，
∴a1＋a10＝a1(1＋q)＝－7.
9
2．设{an}是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和．已知a2a4＝1，S3＝7，则S5等于( ) A.C.15
233 4
B.D.31 417 2
3
a1q·a1q＝1，??
解析：选B 设数列{an}的公比为q，则显然q≠1，由题意得?a11－q3
＝7，??1－qa1＝4，??
?1q＝??2
解得
a1＝9，??
或?1
q＝－?3?
(舍去)，
a11－q5
∴S5＝
1－q?1?4?1－5??2?31＝＝. 141－2
S4S2
S6S4
3．(2018·邵阳二模)设Sn是等比数列{an}的前n项和，若＝3，则＝( ) A．2 C.3 10
7B. 3D．1或2
解析：选B 设S2＝k，S4＝3k，∵数列{an}为等比数列，∴S2，S4－S2，S6－S4也为等比数
S67k7
列，又S2＝k，S4－S2＝2k，∴S6－S4＝4k，∴S6＝7k，∴＝＝，故选B.
S43k3
- 1 -
4．(2018·安庆二模)数列{an}满足：an＋1＝λan－1(n∈N，λ∈R且λ≠0)，若数列{an－1}是等比数列，则λ的值等于( )
A．1 1C. 2
B．－1 D．2
*
2??解析：选D 由an＋1＝λan－1，得an＋1－1＝λan－2＝λ?an－?.由于数列{an－1}是等比λ??
2
数列，所以＝1，得λ＝2.
λ5．一个等比数列的前三项的积为3，最后三项的积为9，且所有项的积为729，则该数列的项数是( )
A．13 C．11
B．12 D．10
解析：选B 设该等比数列为{an}，其前n项积为Tn，则由已知得a1·a2·a3＝3，an－2·an－1
·an＝9，(a1·an)＝3×9＝3，∴a1·an＝3，又Tn＝a1·a2·…·an－1·an＝an·an－
2
33
1
·…·a2·a1，∴Tn＝(a1·an)，即729＝3，
∴n＝12.
6．(2019·重庆调研)在各项均为正数的等比数列{an}中，若a5＝5，则log5a1＋log5a2＋…
n2n＋log5a9＝________.
解析：因为数列{an}是各项均为正数的等比数列，所以由等比数列的性质可得a1·a9＝
2
a2·a8＝a3·a7＝a4·a6＝a25＝5，则log5a1＋log5a2＋…＋log5a9＝log5(a1·a2·…·a9)＝
log5[(a1·a9)·(a2·a8)·(a3·a7)·(a4·a6)·a5]＝log5a5＝log55＝9.
答案：9
7．设各项都是正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，且S10＝10，S30＝70，那么S40＝________.
解析：易知S10，S20－S10，S30－S20，S40－S30成等比数列，因此有(S20－S10)＝S10(S30－S20)，即(S20－10)＝10(70－S20)，故S20＝－20或S20＝30.又S20＞0，所以S20＝30，S20－S10＝20，S30－S20＝40，故S40－S30＝80，所以S40＝150.
答案：150
1591111
8．在等比数列{an}中，若a1＋a2＋a3＋a4＝，a2a3＝－，则＋＋＋＝________.
88a1a2a3a41111a1＋a4a2＋a3
解析：＋＋＋＝＋. a1a2a3a4a1·a4a2·a3∵在等比数列{an}中，a1·a4＝a2·a3， ∴原式＝
2
2
99
a1＋a2＋a3＋a415?8?5
＝×?－?＝－. a2·a38?9?3
- 2 -
5
答案：－
3
9．(2018·全国卷Ⅲ)等比数列{an}中，a1＝1，a5＝4a3. (1)求{an}的通项公式；
(2)记Sn为{an}的前n项和．若Sm＝63，求m. 解：(1)设{an}的公比为q，由题设得an＝q由已知得q＝4q，
解得q＝0(舍去)或q＝－2或q＝2. 故an＝(－2)
n－14
2
n－1
.
或an＝2
n－1
n－1
.
n(2)若an＝(－2)
1－－2
，则Sn＝
3
m.
由Sm＝63，得(－2)＝－188， 此方程没有正整数解． 若an＝2
n－1
1－2n，则Sn＝＝2－1.
1－2
mn由Sm＝63，得2＝64，解得m＝6. 综上，m＝6.
3an2*
10．已知数列{an}的首项a1＞0，an＋1＝(n∈N)，且a1＝.
2an＋13
?1?
(1)求证：?－1?是等比数列，并求出{an}的通项公式；
?an?
?1?
(2)求数列??的前n项和Tn.
?an?
2an＋1
－13an1bn＋1an＋12an＋1－3an1－an1
解：(1)证明：记bn＝－1，则＝＝＝＝＝，
anbn113－3an31－an3
－1－1
1－1
anan131
又b1＝－1＝－1＝，
a122
?1?11
所以?－1?是首项为，公比为的等比数列．
23?an?
n－1
1?1?n－12·3
所以－1＝·??，即an＝n－1. an2?3?1＋2·3
1
2·3所以数列{an}的通项公式为an＝n－1. 1＋2·311?1?n－1
(2)由(1)知，－1＝·??，
an2?3?
n－1
- 3 -
11?1?n－1
即＝·??＋1. an2?3?
?1?
所以数列??的前n项和
?an?
11?
1－n???2?3?1?3?Tn＝＋n＝?1－n?＋n.
14?3?1－3
二、专项培优练
(一)易错专练——不丢怨枉分
1．各项均为正数的等比数列{an}中，若a1≥1，a2≤2，a3≥3，则a4的取值范围是________． 解析：设{an}的公比为q，则根据题意得q＝＝， 39?9?2
∴≤q≤2，a4＝a3q≥，a4＝a2q≤8，∴a4∈?，8?. 22?2?
a2a3
a1a2
?9?答案：?，8? ?2?
3
2．已知四个数成等比数列，其积为1，第二项与第三项之和为－，求这四个数．
2解：设这四个数依次为a，aq，aq，aq，则由题意知，
2
3
a4q6＝1， ①???3aq1＋q＝－， ②?2?
aq＝±1， ③??
得?2292
aq1＋q＝. ④?4?
23
11222
把aq＝代入④，得q－q＋1＝0，此方程无解；
q4117222
把aq＝－代入④，得q＋q＋1＝0，
q41
解此方程得q＝－或q＝－4.
4
11
当q＝－时，a＝8；当q＝－4时，a＝－.
481111
所以这四个数为8，－2，，－或－，，－2,8.
2882(二)交汇专练——融会巧迁移
3．[与方程交汇]在等比数列{an}中，若a3，a7是方程x＋4x＋2＝0的两根，则a5的值是( )
A．－2 C．±2
2
B．－2 D.2
- 4 -
解：选B 根据根与系数之间的关系得a3＋a7＝－4，a3a7＝2，由a3＋a7＝－4＜0，a3a7＞0，得a3＜0，a7＜0，即a5＜0，由a3a7＝a5，得a5＝－a3a7＝－2.故选B.
4．[与集合交汇]设{an}是公比为q的等比数列，|q|＞1，令bn＝an＋1(n＝1,2，…)，若数列{bn}有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中，则q等于( )
1A．－
23C．－
2
1B. 23D. 2
2
解：选C {bn}有连续四项在{－53，－23,19,37,82}中且bn＝an＋1，即an＝bn－1，则{an}有连续四项在{－54，－24,18,36,81}中．
∵{an}是等比数列，等比数列中有负数项，∴q＜0，且负数项为相隔两项，又∵|q|＞1，∴等比数列各项的绝对值递增．
按绝对值由小到大的顺序排列上述数值18，－24,36，－54，81，
－244363543813相邻两项相除＝－，＝－，－＝－，＝－，则可得－24,36，－54,81
183－242362－542是{an}中连续的四项．
3
∴q＝－.
2
5．[与等差数列的交汇]已知等差数列{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}的各项均为正数，公比是q，且满足：a1＝3，b1＝1，b2＋S2＝12，S2＝b2q.
(1)求an与bn； (2)设cn＝3bn－λ·2解：(1)由已知可得?
2
an3 (λ∈R)，若数列{cn}是递增数列，求λ的取值范围．
?q＋3＋a2＝12，?
??3＋a2＝q，
2
所以q＋q－12＝0，
解得q＝3或q＝－4(舍去)，从而a2＝6， 所以an＝3n，bn＝3
n－1
.
an3(2)由(1)知，cn＝3bn－λ·2＝3－λ·2.
*
nn由题意，知cn＋1＞cn对任意的n∈N恒成立， 即3
n＋1
－λ·2
n＋1
＞3－λ·2恒成立，
nn?3?nnn*
亦即λ·2＜2·3恒成立，即λ＜2·??对任意的n∈N恒成立．
?2??3?n由于函数y＝??在[1，＋∞)上是增函数，
?2?
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新课改瘦专用2020版高考数学一轮复习课时跟踪检测三十六等比数列及其前n项和含解析新人教A版
