2017年全国硕士研究生入学统一考试数学三真题及答案解析
一、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分）
（1）若函数
?1?cosx,x?0,?在x?0处连续，则（ ） f(x)??ax?b,x?0?(A)ab?11。 (B)ab??。 22(C)ab?0。 (Dab?2。
【答案】(A)
【解】
f(0?0)?lim1?cosx1?，f(0)?f(0?0)?b，
x?0?ax2a因为
f(x)在x?0处连续，所以f(0?0)?f(0)?f(0?0)，从而ab??xy(3?x?y)的极值点为（ ）
1，应选(A)。 2（2）二原函数z(A)(0,0)。 (B)(0,3)。 (C)(3,0)。 (D)(1,1)。
【答案】(D)
2??x?0,?x?1,?z?x?3y?2xy?y?0,【解】由?得??2?y?0z?3x?2xy?x?0???y?1?y?x?0,?x?3, ??y?3y?0???????z?xx??2y，zxy?3?2x?2y，zyy??2x，
当(x,y)当(x,y)?(0,0)时，AC?B2??9?0，则(0,0)不是极值点；
?(1,1)时，AC?B2?3?0且A??2?0，则(1,1)为极大点，应选(D)。
f(x)可导，且f(x)?f?(x)?0，则（ ）
（3）设函数
(A)f(1)?f(?1)。 (B)f(1)?f(?1)。 (C)|f(1)|?|f(?1)|。 (D)|f(1)|?|f(?1)|。
【答案】(C) 【解】若若
f(x)?0，则f?(x)?0，从而f(1)?f(?1)?0；
f(x)?0，则f?(x)?0，从而f(1)?f(?1)?0，故|f(1)|?|f(?1)|，应选(C)。
（4）若级数
?[sinn?kln(1?n)]收敛，则k? （ ）
n?2?11(A)1。 (B)2。 (C)?1。 (D)?2。
【答案】(C) 【解】sin1111??3?o(3)， nn6nnx21111?o(x2)得ln(1?)???2?o(2)， 由ln(1?x)?x?2nn2nn于是sin?111k1?kln(1?)?(k?1)?2?o(2)， nnn2nn11?kln(1?)]收敛得k??1，应选(C)。 nn由
?[sinn?2（5）设?为n维单位列向量，E为n阶单位矩阵，则（ ）
(A)E???T不可逆。 (B)E???T不可逆。 (C)E?2??T不可逆。 (D)E?2??T不可逆。
【答案】(A)
【解】令令
A???T，A2?A，
AX??X，由(A2?A)X?(?2??)X?0得?2???0，??0或??1，
??T??1??1????n得A的特征值为?1????n?1?0,?n?1，
因为tr(A)E???T的特征值为?1????n?1?1,?n?0，从而|E???T|?0，
即E???T不可逆，应选(A)。
?200??210??100???????（6）已知矩阵A??021?,B??020?,C??020?，则 （ ）
?001??001??002???????(A)A与C相似，B与C相似。 (B)A与C相似，B与C不相似。 (C)A与C不相似，B与C相似。(D)A与C不相似，B与C不相似。
【答案】(B)
【解】
A,B,C的特征值为?1??2?2,?3?1，
?000???由2E?A??00?1?得r(2E?A)?1，则A可相似对角化，从而A~C；
?001????0?10???00?得r(2E?B)?2，则B不可相似对角化，从而B与A,C不相似，应选由2E?B??0?001???(B)。
（7）设
A,B,C为三个随机事件，且A与C相互独立，B与C相互独立，则A?B与C相互独立的
充分必要条件是（ ）
(A)A与B相互独立。 (B)A与B互不相容。 (C)AB与C相互独立。 (D)AB与C互不相容。
【答案】(C)
【解】P[(A?B)C]?P(AC?BC)?P(AC)?P(BC)?P(ABC)
?P(A)P(C)?P(B)P(C)?P(ABC)， P(A?B)P(C)?[P(A)?P(B)?P(AB)]P(C)
?P(A)P(B)?P(B)P(C)?P(AB)P(C)，
A?B与C独立即P[(A?B)C]?P(A?B)P(C)的充分必要条件为
P(A)P(C)?P(B)P(C)?P(ABC)?P(A)P(B)?P(B)P(C)?P(AB)P(C)，
或P(ABC)?P(AB)P(C)，即AB与C独立，应选(C)。
，则下列
1n（8）设X1,X2,?,Xn（n?2）为来自总体N(?,1)的简单随机样本，记X??Xini?1结论正确的是（ ）
(A)?(Xi??)2i?1nn服从?分布。
2(B)2(Xn?X1)2服从?2分布。
(C)?(Xi?X)2i?1服从?分布。
2(D)n(X??)2服从?2分布。
【答案】(B)
【解】若总体
X~N(?,?2)，则
1?2?(Xi?1ni??)~?(n)，
n221?2?(Xi?1ni?X)2~?2(n?1)，
n因为总体
X~N(?,1)，所以?(Xi??)~?(n)，?(Xi?X)2~?2(n?1)，
22i?1i?1再由
1X??X~N(?,)得?n(X??)~N(0,1)，从而n(X??)2~?2(1)，
1nn不正确的是(B)，应选(B)。
二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分） （9）
????(sin3x??2?x2)dx?__________。
【答案】
??32
??【解】
x??sint??(sin?3x???x)dx???2222????xdx?2?220?2?x2dx
?202?2??costdt?2??20costdt?2?32。
（10）差分方程【答案】C2【解】设故
tyt?1?2yt?2t的通解为__________。
1?t2t 2yt?1?2yt?0的通解为yt?C2t；
yt?1?2yt?2t的特解为y??at2t，代入得a?1， 21yt?1?2yt?2t的通解为yt?C2t?t2t。
2?1?e?Q，其中Q为产量，则边际成本为____。
（11）设生产某种产品的平均成本为C(Q)【答案】1?(1?Q)e?Q
【解】平均成本为C(Q)?C(Q)?1?e?Q，总成本为 QC(Q)?Q?Qe?Q，边际成本为 C?(Q)?1?(1?Q)e?Q。
（12）设函数
f(x,y)具有一阶连续的偏导数，且df(x,y)?yeydx?x(1?y)eydy，
f(0,0)?0，则f(x,y)?_______。
【答案】xye 【解】由df(x,y)y?yeydx?x(1?y)eydy?d(xyey)得
f(x,y)?xyey?C，
再由
f(0,0)?0得C?0，故f(x,y)?xyey。
?101???（13）矩阵A??112?，?1,?2,?3为线性无关的三维列向量组，则向量组A?1,A?2,A?3的
?011???秩为________。 【答案】2
【解】(A?1,A?2,A?3)?A??1,?2,?3?，
因为?1,?2,?3线性无关，所以从而r[(A?1,A?2,A?3)]??1,?2,?3?可逆，
?r(A)，
?101???由A??011?得r(A)?2，故向量组A?1,A?2,A?3的秩为2。
?000???1（14）设随机变量X的概率分布为P{X??2}?,P{X?1}?a,P{X?3}?b，若EX?0，
2则DX?_________。
【答案】
9 2【解】EX11??1?a?3b?0，再由?a?b?1得a?b?，
241119EX2?(?2)2??12??32??。
2442三、解答题
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