2007年数学奥林匹克协作体夏令营试题（一）
深圳中学 邹新宇
一、选择题（请在答题框内作答） 题号 答案
1、假定正整数N的8进制表示为N?(12345677654321)8，那么下面四个判断中，正确的是（ ）
A、N能被7整除而不能被9整除 B、N能被9整除而不能被7整除 C、N不能被7整除也不能被9整除 D、N既能被7整除也能被9整除
*2、已知数列?an?满足a1?2000,a2?2007,an?2?an?1?an(n?N),则a2007等于（ ）
1 2 3 4 5 6 A、2007 B、-2007 C、7 D、-7 3、在(2?A、3x)2n?1的展开式中，x的幂指数是整数的各项系数之和为（ ）
2n?111?1； B、32n?1； C、?32n?1； D、(32n?1?1)
224、在1，2，3，4，5的排列a1,a2,a3,a4,a5中，满足条件a1?a2,a3?a2,
a3?a4,a5?a4的排列个数是（ ）
A、10； B、12； C、14； D、16.
5、直线y?mx?3与抛物线C1:y?x?5mx?4m,C2:y?x?(2m?1)x
22?m2?3,C3:y?x2?3mx?2m?3中至少有一条相交，则m的取值范围
是（ ） A、m?33或m??2 B、m??1或m?? 82C、m?R D、以上均不正确 6、若关于x的不等式e2x?aex?3?0有实数解，则a的取值范围是（ ）
A、??,?23 B、??,23 C、?23,23 D、(23,??)
1
??????二、填空题
7、设a为实数，集合A??a,a,a?a,B??1,?1?a,1?a,A?B??，则A?B? ____________________．
8、在三角形ABC中，已知三个内角A、B、C成等差数列，设他们所对的边分别是a、b、c，
并且c?a等于AC边上的高h，则sin
?22??2?C?A?____________________． 2y2AP?1交于A、9、斜率为1的直线与椭圆x?B两点，P为线段AB上的点，且?2. 则4PB2P点的轨迹方程是____________________．
10、已知当x??0,1?时，不等式xcos??x(1?x)?(1?x)sin??0恒成立，其中
220???2?，则?的取值范围是____________________．
11、一个凸36面体中有24个面是三角形，12个面是四边形，则该多面体的对角线的条数是____________________．（连结不在凸多面体的同一个面内的两个凸面体的顶点的线段叫做凸多面体的对角线。）
12、一枚均匀的硬币掷十次，没有连续出现正面向上的概率是____________________．
三、解答题
13、在实数范围内解方程2(4x?3x)?x?1
32?n?11???x?14、设x1,x2,?xn?R，定义 Sn???2?i?， nxi?1?i?n2 1）求Sn的最小值；
2）在x1?x2???xn?1条件下，求Sn的最小值； 3）在x1?x2???xn?1条件下，求Sn的最小值， 并加以证明。
2
222x2y215、设椭圆的方程为 2?2?1(a?b?0),
ab线段 PQ 是过左焦点 F 且不与 x 轴垂直
R 的焦点弦. 若在左准线上存在点 R, 使 ?PQR 为正三角形, 求椭圆的离心率 e 的取值范围, 并用 e 表示直线 PQ 的斜率
2007年数学奥林匹克协作体试题（一）
2007-07-30
1、 求所有具有下面性质的正整数n：若a、b为正整数，且na2b?1，则一定有na2?b。
2、 在三角形ABC中，?B,?C为锐角，M、N、D分别是边AB、AC、BC上的点，满足
P M F O Q y x AM?AN,BD?DC。若?BDM??CDN。求证：AB?AC。
3、 在一条长为36厘米的直尺上刻n条刻度，使得能够用这条尺一次性的度量?1,36?中的
任意整数厘米的长度。试求n的最小值。
2007年数学奥林匹克协作体夏令营试题（一）答案
深圳中学 邹新宇
一、选择题： 题号 答案
1、D
由于8?1(mod7)，所以8?1(mod7)
i1 D 2 C 3 D 4 D 5 B 6 D 3
2007年数学奥林匹克协作体夏令营试题(一)及答案
