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?p1?p2??1??v22?v12???g?z1?z2?； （1）
2取U形测压计内液体的左侧A点处水平面为等压面，则有：
pA?p1??g(z1?h1)，
pB?p2??g(z2?h?h1)??mgh；
由于pA?pB，则可得到：
p1??g?z1?h1??p2??g(z2?h?h1)??mgh；
整理可得：
?p1?p2????g?z1?z2??gh??m???； （2）
将（2）代入到（1）中，可得：
??g?z1?z2??gh??m????再经整理得到：
1?QQ????2???g?z1?z2?； 2?2?S2S1??22??m???gh2??m???ghS12S2Q?S1S2。 ，Q?2222??S1?S2??S1?S22??4-8 圆管内不可压缩定常流动如图所示。入口处流速U均匀，在某截面x处为抛物形速度分布：u?r??c?r02?r2?U，其中r为离管轴的径向距离，c为一未知常数。入口处和x处管截面压力均匀分布，分别为p0和px，流体密度为?，不计重力。（1）试确定常数c； （2）证明作用在o至x间，管壁上总的摩擦阻力
1??D??r02?p0?px??U2?。
3??答：（1）入口处流量为：Q??r02U；由连续方程可知，x处截面的流量也是
Q??r02U。
又由于通过x截面半径r处环形微元面积ds?2?rdr上的流量为：
dQ?2?ru?r?dr
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对其积分可得到：
Q??2?ru?r?dr?2??r?cr02?r2Udr?2?cU?r02?r2dr?000r0r0??r0???2cr04U ；
即：
?2cr04U??r02U；
因此得到：
c?2； r02则速度分布为：
?r2?222。 u?r??2r0?rU?2U?1?2???r0?r0???（2）入口处流体的动量为：??r02U?U???r02U2；x截面上，通过半径为r处的环形面积流体的动量为：
dM?2??rdr?u?r??u?r??2??ru2(r)dr；
将上式积分得到：
M??2??ru2(r)dr?2???0r0r00r2?42?22?r?4U?1?dr???rU； 02?r?30??2由动量定理可知，动量的变化量等于外力的合力，因此：
4??r02U2???r02U2?p0??r02?px??r02?D； 3其中D为圆管对流体的摩擦阻力，整理得到：
11??D?p0?r02?px?r02???r02U2??r02?p0?px??U2?。
33??4-9 一马蹄形旋涡如图所示，两端向右延伸至无穷远处。试分别计算R、P、Q三点的诱导速度。
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答：由毕奥-沙伐尔定律可知，涡线对空间一点的诱导速度为：
V???cos?2?cos?1?； 4?R（1）求涡线对R点的诱导速度：
诱导速度由3部分涡线产生，即涡线1、2和3： 涡线1：方向垂直纸面向外：
VR1???cos?2?cos?1?； 4?ldl?d22其中?2?0，cos?2?1；cos?1?因此：
；
VR1???d?1?4?l?l2?d2???。 ??涡线2：方向垂直纸面向内：
cos?2?ll?d22，cos?1?cos????2???cos?2??ll?d22；
则：
VR2??4?d??ll????2?2l?dl2?d2??????l????； ?22???2?dl?d涡线3：方向垂直纸面向外：
VR3?VR1
则对R点总诱导速度为：
VR?2VR1?VR2???d?1?2?l?l2?d2??????2?d?ll?d22
（2）求涡线对Q点的诱导速度：
涡线1、3作用相同，方向垂直纸面向外：
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cos?2?1，cos?1??dl?d22；
则：
????l?cos?2?cos?1???1??VQ1?VQ3???4?l4?l?l2?d2??????l????1???l2?d2???4?l???； ??涡线2方向垂直纸面向外：
VQ2?VR2??l?； 2?dl2?d2则对Q点总诱导速度为：
VQ?2VQ1?VQ2???d?1?2?l?l2?d2??????2?d?ll?d22；
（3）求涡线对P点的诱导速度：
涡线1、3作用相同，方向垂直纸面向外：
cos?2?1，cos?1?0；
VP1?VP3?则：
??； ??1?0??4?l4?lVP?2VP1?
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流体力学习题及答案-第四章复习课程
