导数的应用一---函数的单调性
编稿：赵 雷
【学习目标】
1. 理解函数的单调性与其导数的关系。
2. 掌握通过函数导数的符号来判断函数的单调性。3. 会利用导数求函数的单调区间。【要点梳理】
要点一、函数的单调性与导数的关系
我们知道，如果函数f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么就说f(x)在这一区间具有单调性，先看下面的例子：
函数y?f(x)?x?4x?3的图象如图所示。考虑到曲线y?f(x)的切线的斜率就是函数f(x)的导数，从图象可以看到：在区间（2，+∞）内，切线的斜率为正，即f'(x)?0时，
2审稿：李 霞
f(x)为增函数；在区间（－∞，2）内，切线的斜率为负，即f'(x)?0时，f(x)为减函数。
导数的符号与函数的单调性：
一般地，设函数y?f(x)在某个区间内有导数，则在这个区间上，①若f?(x)?0，则f(x)在这个区间上为增函数；②若f?(x)?0，则f(x)在这个区间上为减函数；③若恒有f?(x)?0，则f(x)在这一区间上为常函数.
反之，若f(x)在某区间上单调递增，则在该区间上有f?(x)?0恒成立（但不恒等于0）；若f(x)在某区间上单调递减，则在该区间上有f?(x)?0恒成立（但不恒等于0）．要点诠释：
1.因为导数的几何意义是曲线切线的斜率，故当在某区间上f?(x)?0，即切线斜率为正时，函数f(x)1
在这个区间上为增函数；当在某区间上f?(x)?0，即切线斜率为负时，函数f(x)在这个区间上为减函数；即导函数的正负决定了原函数的增减。
2.若在某区间上有有限个点使f'(x)?0，在其余点恒有f'(x)?0，则f(x)仍为增函数（减函数的情形完全类似）。
即在某区间上，f?(x)?0?f(x)在这个区间上为增函数；
f?(x)?0?f(x)在这个区间上为减函数，但反之不成立。
3. f(x)在某区间上为增函数?在该区间f?(x)?0；
f(x)在某区间上为减函数?在该区间f?(x)?0。
在区间(a,b)内，f'(x)?0（或f?(x)?0）是f(x)在区间(a，b)内单调递增（或减）的充分不必要条件！
例如：f(x)?x?f'(x)?3x?0，f'(0)?0,f'(x)?0(x?0)，而f(x)在R上递增.4.只有在某区间内恒有f?(x)?0，这个函数y?f(x)在这个区间上才为常数函数.5.注意导函数图象与原函数图象间关系. 要点二、利用导数研究函数的单调性
利用导数判断函数单调性的基本方法设函数y?f(x)在区间（a，b）内可导，
（1）如果恒有f'(x)?0，则函数f(x)在（a，b）内为增函数；（2）如果恒有f'(x)?0，则函数f(x)在（a，b）内为减函数；（3）如果恒有f'(x)?0，则函数f(x)在（a，b）内为常数函数。要点诠释：
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（1）若函数f(x)在区间（a，b）内单调递增，则f'(x)?0，若函数f(x)在（a，b）内单调递减，
则f'(x)?0。
（2）f'(x)?0或f'(x)?0恒成立，求参数值的范围的方法——分离参数法：a?g(x)或a?g(x)。要点三、利用导数求函数单调区间的基本步骤
（1）确定函数f(x)的定义域；（2）求导数f'(x)；
（3）在函数f(x)的定义域内解不等式f'(x)?0或f'(x)?0；（4）确定f(x)的单调区间。或者：
令f'(x)?0，求出它在定义域内的一切实数根。把这些实数根和函数的间断点（即f(x)的无定义点）的横坐标按从小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间，判断在各个小区间内f?(x)的符号。
要点诠释：
1.求函数单调区间时，要注意单调区间一定是函数定义域的子集。
2.求单调区间常常通过列表的方法进行求解，使解题思路步骤更加清晰、明确。【典型例题】
类型一：求函数的单调区间
【高清课堂：函数的单调性370874 例1】例1.确定下列函数的单调区间(1)y=x3－9x2+24x (2)y=3x－x3【解析】
(1) y′=(x3－9x2+24x)′=3x2－18x+24=3(x－2)(x－4)
3
令3(x－2)(x－4)＞0，解得x＞4或x＜2.
∴y=x3－9x2+24x的单调增区间是(4，+∞)和(－∞，2)令3(x－2)(x－4)＜0，解得2＜x＜4.∴y=x3－9x2+24x的单调减区间是(2，4)(2)y′=(3x－x3)′=3－3x2=－3(x2－1)=－3(x+1)(x－1)令－3(x+1)(x－1)＞0，解得－1＜x＜1.∴y=3x－x3的单调增区间是(－1，1).令－3(x+1)(x－1)＜0，解得x＞1或x＜－1.∴y=3x－x3的单调减区间是(－∞，－1)和(1，+∞)
【点评】（1）解决此类题目，关键是解不等式f'(x)?0或f'(x)?0。
（2）注意写单调区间时，不是连续的区间一般不能用并集符号“U”。
举一反三：【变式1】
求下列函数的单调区间：（1）f(x)?x3?2x2?x （2）f(x)?3x2?2lnx(x?0)；
（3）f(x)?sinx(1?cosx)(0?x?2?)；【答案】
（1）f'(x)?3x2?4x?1。
令3x2―4x+1＞0，解得x＞1或x?13。因此，y=x3－2x2+x的单调递增区间为（1，+∞）和(??,13)。
再令3x2－4x+x＜0，解得
13?x?1。4
因此，y=x3－2x2+x的单调递减区间为?,1?。（2）函数的定义域为（0，+∞），
?1??3?23x2?1f'(x)?6x??2?。
xx3x2?13?0， 结合x＞0，可解得x?令f'(x)?0，即2?； x33x2?13?0， 结合x＞0，可解得0?x?令f'(x)?0，即2?。x3?3??3?∴f(x)的单调递增区间为??3,????，单调递减区间为??0,3??。
????（3）f'(x)?cosx(1?cosx)?sinx(?sinx)?2cosx?cosx?1?2(cosx?1)(cosx?1)。
2∴0≤x≤2π，∴使f'(x)?0的x1??3，x2??，x3?5?，3则区间[0，2π]被分成三个子区间。如表所示：
x0…
?30
…π…
5?30
…2?f'(x)f(x)+－0－+
????
所以函数f(x)?sinx(1?cosx)（0≤x≤π）的单调递增区间为?0,
????5?和，单调递减区间为?,2????33??????5?,??。??33?例2. 已知函数
f(x)?(a?1)lnx?ax2?1，求函数f(x)的单调区间并说明其单调性。
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25知识讲解_导数的应用--单调性_提高
