空间向量的夹角、距离计算同步练习题
一、选择题
1. 已知 (2 ， -5,1) ， (2 ， -2,4)
A
B
， (1 ，-4,1) ，则直线
C
AC
与
AB
的夹角为（ C
）
A.30 0 B.45 0 C.600 D.90 0
2. 已知向量 a＝ (0 ，2， 1) ， b＝ ( － 1， 1，－ 2) ，则 a 与 b 的夹角为 ( ) A． 0° B ． 45° C．90° D． 180°
解析：选 C.已知 a＝(0 ， 2， 1) ， b＝ ( －1， 1，－ 2) ，则 cos〈 a， b〉＝ 0，从而得出 a 与 b 的夹角为 90° . 3. 如果平面外一条直线和它在这个平面上的投影的方向向量分别是 直线与平面的夹角为 (
D )
a=（ 0,2,1 ），b=（ ， ， ），那么这条
0
A.90 0 B. 60 0 4. 边长为 a 的正六边形 ABCDEF所在平面为 A.30°
C.45 0 D. 30
α， PA⊥ α 且 PA＝ a，则 PC与 α 所成的角为 (
D.90°
1
A )
B.60° 的正方体
C.45° －1111中，是
1
5．在棱长为
A.
的中点，则点
到平面 的距离是 (
)
6 6
a
a
B.
30
ABCD A B CD
C.
3
M
AA
解析： 以
D
6 a
4
a
D.
6
A
MBD
为原点建立空间直角坐标系， 正方体棱长为
a
3 a
，则1
A( a, 0 a) A( a, 0,0) M
，
，
1 ， a， 0， a ，
2
，
B( a a, 0)
，
，
→ →
→
0，－
1 →
D(0,0,0) ，设 n＝ ( x，y，z) 为平面 BMD的法向量，则 n· BM＝0，且 n·DM＝ 0，而 BM＝
所以
1
1
a 2，DM＝ a →
，DA＝( a, 0
a
， 0，
1
2a .
－ y＋ 2z＝ 0，
所以
y＝ 2z，
1
令 z＝ 2，则 n＝ ( － 1,1,2)
，a) ，则 A 到平面
1
1
1
x＋2z＝ 0，
→
＝ | DA·n|
x＝－ 2z，
的距离是
＝ 6 . 答案： A
1
BDM
d | n|
6 a
6. 已知向量 n=（ 1,0 ， -1 ）与平面 α垂直，且 α经过点 A（ 2,3,1 A. 1
），则点 P（4,3,2 ）到 α的距离为 (
B )
B.
C.
D. 2
7. 正方体 ABCD— A1B1C1D1 的棱长为 1， O是 A1C1 的中点，则 O到平面 ABC1D1 的距离为（ A ） A.
B.
C.
D.
8．若直线 l 的方向向量与平面 α 的法向量的夹角等于 120°，则直线 l 与平面 α 所成的角等于 ( ) A．120° ．60° ．30° ．60°或 30° B C D 解析：选 C. 由题意得直线 l 与平面 α 的法向量所在直线的夹角为 60°，∴直线 l 与平面 α 所成的角为 90°－ 60°＝ 30°. 9．设 ， 都是边长为 1 的正方形，⊥面 ，则异面直线 与 BF 所成的角等于 ( )
ABCD ABEF
FA
ABCD
AC
A．45° ．30° ．90° ．60° B C D 解析：选 D.以 B 为原点， BA 所在直线为 x 轴， 所在直线为 y 轴， 所在直线为 z 轴建立空间直角坐标系 ( 图
BE BC
→ → → → → → 1 略 ) ，则 A(1,0,0) ，C(0,1,0) ，F(1,0,1) ，∴ AC＝ ( － 1,1,0) ，BF＝ (1,0,1) ．∴ cos〈 AC，BF〉＝－ 2. ∴〈 AC，BF〉
1
＝120°. ∴ AC与 BF所成的角为 60°.
10．在长方体 ABCD－ A1B1C1D1 中， AB＝ 2， BC＝2， DD1＝ 3，则 AC与 BD1 所成角的余弦值为
( )
3
A．0B. 解析：
70 70
3 70 C．－70
70
D.
70
选 A. 建立如图坐标系，则
D(0,0 ， 3) ，B(2,2,0) ， A(2,0,0) ， C(0,2,0) ， 1
→
∴ BD＝ ( － 2，－ 2,3) ，
1
BD· AC
→
AC＝ ( －2,2,0)
→ → →
．∴ cos 〈BD， AC〉＝ 1
→→
→ ＝0.
∴〈 BD， AC〉＝ 90°，其余弦值为
→ → 1
0.
1
|
1
1
BD
||
AC
|
BE与平面 B BD所成的角的正弦值
为
1
11．在正方体 ABCD－ A BCD 中， E 是 CC的中点，则直线
1 1 1
1
()
A．－
10
B.
10 5
C
．－
15
D.
15 5
5
解析：选 B.
5
建立如图空间直角坐标系，设正方体的棱长为
→ →
－ 2,0) ，BB1＝ (0,0,2) ， BE＝( － 2,0,1) ．
→
2，则 D(0,0,0) ，B(2,2,0) ， B1 (2,2,2) ，E(0,2,1) ．∴ BD＝( －2，
∴
设平面 B1BD的法向量为 n＝ ( x，y， z) ．∵ n⊥ BD， n⊥ BB1
→
－ 2x－2y＝ 0， →
，∴ 2z＝ 0. →
x＝－ y， z＝ 0.
→ n· BE
＝ → 令 y＝ 1，则 n＝( － 1,1,0) ．∴ cos〈 n，BE〉＝ | n|| BE|
→
|cos 〈 ， 〉 | ＝ 10 .
n BE
5
10
θ，则 sin θ＝ 5 ，设直线 BE与平面 B1BD所成角为
12. 在正方体 ABCD－A B CD 中， M、N分别为棱 AA 和 BB 的中点，则 sin 〈 CM ， D1 N 〉的值为 1 1 1 1 1 1
uuur uuuur
(
)
1 A. 9
4 9 5
2
C. B.
9
5
2 3
1
D.
解析：设正方体棱长为
2，以 D为坐标原点， DA为 x 轴， DC为 y 轴， DD为 z 轴建立空间直角坐标系，可知
CM
uuur
uuuur
＝ (2 ，－ 2,1) ， D1 N ＝ (2,2 ，－ 1) ，
cos 〈 CM ， D N 〉＝－
uuur uuuur
1
1 9
， sin 〈 CM ， D N 〉＝.
1
uuur uuuur
4 5 9
答案： B
二、填空题
13. 已知 a， b 是直线， α，β 是平面， a⊥ α， b⊥ β，向量 a1 在 a 上，向量
上， a1＝ (1,0,1) ，
b1 在 b
2
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