新教材高中数学第八章向量的数量积与三角恒等变换8.2三角恒等变换8.2.2两角和与差的正弦正切第2课时两角
和与差的正切教案新人教B版第三册
(教师独具内容)
课程标准：1.能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正切公式.2.能运用两角和与差的正切公式进行简单的恒等变换．
教学重点：两角和与差的正切公式的推导过程及运用． 教学难点：两角和与差的正切公式的灵活运用.
【知识导学】
知识点一 两角和的正切公式为tan(α＋β)＝
01□
tanα＋tanβππ02α＋β≠kπ＋，记作Tα＋β.它成立的条件是□，α≠kπ＋，β≠kπ1－tanαtanβ22
π
＋(k∈Z)． 2
知识点二 两角差的正切公式为tan(α－β)＝
01□
tanα－tanβππ02α≠kπ＋，记作Tα－β.它成立的条件是□，β≠kπ＋，α－β≠kπ1＋tanαtanβ22
π
＋(k∈Z)． 2
知识点三 公式的变形，由tan(α＋β)＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)．
02tan(α－β)(1＋tanαtanβ)． 同理tanα－tanβ＝□tanα＋tanβ01可变形为tanα＋tanβ＝□1－tanαtanβ【新知拓展】
1．公式Tα±β的结构特征和符号规律
(1)公式Tα±β的右侧为分式形式，其中分子为tanα与tanβ的和或差，分母为1与tanαtanβ的差或和．
(2)
- 1 -
符号变化规律可简记为“分子同，分母反”． 2．公式Tα±β的角的范围
π
(1)公式中的α，β，α＋β，α－β都不能等于kπ＋，k∈Z.
2
(2)当tanα，tanβ，tan(α±β)的值不存在时，不能使用公式处理有关问题，但可以改用诱导公式或其他方法．
3．公式灵活变形
(1)tanα±tanβ＝tan(α±β)(1?tanαtanβ)． tanα＋tanβtanα－tanβ(2)tanαtanβ＝1－＝－1.
tanα＋βtanα－β(3)在Tα±β中，如果分子中出现“1”常利用1＝tan45°来代换，以达到化简求值的目的， 如
π?1－tanα3tanα＋3?π??＝tan?－α?；＝3tan?α＋?.
4?1＋tanα1－tanα?4??
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)不存在α，β∈R，使tan(α＋β)＝tanα＋tanβ.( ) tanα＋tanβ(2)对任意的α，β∈R，tan(α＋β)＝.( )
1－tanαtanβtan16°＋tan44°(3)＝3.( ) 1＋tan16°tan44°答案 (1)× (2)× (3)× 2．做一做
tan75°－tan15°(1)＝( ) 1＋tan75°tan15°A．－2 C．－3
B.2 D.3
(2)已知tanα＝1，tanβ＝2，则tan(α＋β)＝________. π??(3)若tan?α－?＝2，则tanα＝________. 4??答案 (1)D (2)－3 (3)－3
题型一 给角化简求值
1－tan75°
例1 求值：(1)tan105°；(2).
1＋tan75°
- 1 -
[解] (1)原式＝tan(60°＋45°) ＝
tan60°＋tan45°3＋1
＝＝－(2＋3)．
1－tan60°tan45°1－3
tan45°－tan75°
(2)原式＝ 1＋tan45°tan75°＝tan(45°－75°)＝tan(－30°) ＝－tan30°＝－金版点睛
给角化简求值的策略
(1)分析式子的结构，正确选用公式形式．
Tα±β是三角函数公式中应用灵活程度较高的公式之一．因此在应用时先从所化简(求值)的式子的结构出发，确定是正用、逆用还是变形用，并注意整体代换．
(2)化简求值中要注意“特殊值”的代换和应用．
当所要化简(求值)的式子中出现特殊的数值时．要考虑用这些特殊值所对应的特殊角的正切值去代换．
[跟踪训练1] 求值：(1)tan2°＋tan43°＋tan2°·tan43°； (2)(1＋tan1°)·(1＋tan2°)·…·(1＋tan44°)·(1＋tan45°)．
解 (1)原式＝tan(2°＋43°)·(1－tan2°·tan43°)＋tan2°·tan43°＝tan45°(1－tan2°·tan43°)＋tan2°·tan43°＝1.
(2)∵(1＋tan1°)·(1＋tan44°)
＝1＋(tan1°＋tan44°)＋tan1°·tan44°
＝1＋tan45°(1－tan1°·tan44°)＋tan1°·tan44° ＝1＋1＝2，
同理(1＋tan2°)(1＋tan43°)＝2，… 依次类推，得原式＝2·(1＋tan45°)＝2. 题型二 给值求值或求角
ππ1??例2 已知tanα＝，tanβ＝－2?0<α<，<β<π?. 223??求：(1)tan(α－β)；(2)α＋β. 1
[解] (1)∵tanα＝，tanβ＝－2，
31＋2
tanα－tanβ3
∴tan(α－β)＝＝＝7.
1＋tanαtanβ2
1－3
- 1 -
22
23
3. 3
1－2
tanα＋tanβ3
(2)tan(α＋β)＝＝＝－1.
1－tanαtanβ2
1＋
3πππ3π
∵0<α<，<β<π，∴<α＋β<，
22223π
∴α＋β＝.
4金版点睛
给值求值或求角问题的解题策略
(1)式子的变换：分析已知式子的结构特点，结合两角和与差的三角函数公式，通过变形，建立与待求式间的联系以实现求值．
(2)角的变换：首先从已知角间的关系入手，分析已知角和待求角间的关系，如用α＝
β－(β－α)、2α＝(α＋β)＋(α－β)等关系，把待求的三角函数与已知角的三角函数巧
妙地建立等量关系，从而求值．
(3)在给值求角的过程中把握好两点： ①限定角的范围．
②求角的某一个三角函数值．二者缺一不可．
π3π2[跟踪训练2] 已知tanα，tanβ是方程6x－5x＋1＝0的两根，且0<α<，π<β<，22求α＋β的值．
解 因为tanα，tanβ是方程6x－5x＋1＝0的两根， 5
所以tanα＋tanβ＝，
6
1tanα＋tanβtanαtanβ＝，tan(α＋β)＝＝＝1，
61－tanαtanβ1
1－
6π3π
因为0<α<，π<β<，
22
5π
所以π<α＋β<2π，所以α＋β＝.
4题型三 公式的综合应用
例3 已知在△ABC中，满足tanA＋tanB＋3＝3tanAtanB，且sinAcosA＝△ABC的形状．
[解] 由tanA＋tanB＋3＝3tanAtanB，得
3
，判断4
56
2
- 1 -
tanA＋tanB＝－3，即tan(A＋B)＝－3.
1－tanAtanB∴tanC＝－tan(A＋B)＝3，从而C＝60°. 由sinAcosA＝332242
，得sinAcosA＝化为16cosA－16cosA＋3＝0， 416
3122
解得cosA＝或cosA＝，
44∴cosA＝±
31或cosA＝±. 22
又A∈(0，π)，∴A＝30°或150°或60°或120°. 当A＝150°或120°时，A＋C≥180°，舍去． 当A＝30°时，C＝60°，
∴B＝90°，与tanB有意义矛盾，舍去． ∴A＝60°，B＝60°，C＝60°， 即△ABC为正三角形． 金版点睛
在三角形中，应用和、差角公式解题需注意以下几点： (1)三角形的内角和等于180°；
(2)创造条件使之能运用两角和与差的三角函数公式；
(3)记住常用结论：在△ABC中，sin(A＋B)＝sinC，cos(A＋B)＝－cosC，tan(A＋B)＝－tanC，sin
A＋B＝cos等． 22
C[跟踪训练3] 证明：在△ABC中，tantan＋tan·tan＋tantan＝1.
222222
ABBCCAABπCABCABπ
证明 在△ABC中，由A＋B＋C＝π，得＋＝－，且，，，＋都不等于，
2222222222
?AB??πC?∴tan?＋?＝tan?－?，
?22??22?
1
＝， ABC1－tantantan
222tan＋tan22
AB∴
∴tan·?tan＋tan?＝1－tantan，
2?2?222∴tantan＋tantan＝1－tantan，
222222∴tantan＋tantan＋tantan＝1. 222222
- 1 -
C?CAAB?
ABABBBCCABCA
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