?复变函数与积分变换?期末试题（A）答案及评分标准
?复变函数与积分变换?期末试题（A）
一．填空题（每小题3分，共计15分）
1．
1?i3?的幅角是（??2k?,k?0,?1,?2?）；2.23Ln(?1?i)的主值是
113?i ）（ ln2?；3. f(z)?1?z224，
f(5)(0)?（ 0 ）；
z?sinz14．z?0是 的（一级）极点；5． f(z)?，Res[f(z),?]?（-1）； 4zz二．选择题（每小题3分，共计15分）
1．解析函数f(z)?u(x,y)?iv(x,y)的导函数为（ B ）；
（A） （C）
f?(z)?ux?iuy； （B）f?(z)?ux?iuy；
f?(z)?ux?ivy； （D）f?(z)?uy?ivx.
C2．C是正向圆周z?3，如果函数f(z)?（ D ），则?f(z)dz?0．
（A）
3(z?1)333(z?1)； （B）； （C）； （D）.
(z?2)2(z?2)2z?2z?2?ncz3．如果级数?nn?1在
z?2点收敛，则级数在（ C ）
（A）z（C）z??2点条件收敛 ； （B）z?2i点绝对收敛；
?1?i点绝对收敛； （D）z?1?2i点一定发散．
４．下列结论正确的是( B )
（A）如果函数f(z)在z0点可导，则f(z)在z0点一定解析；
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(B) 如果f(z)在C所围成的区域解析， 则
?Cf(z)dz?0
（C）如果
?Cf(z)dz?0，则函数f(z)在C所围成的区域一定解析；
（D）函数
f(z)?u(x,y)?iv(x,y)在区域解析的充分必要条件是
u(x,y)、v(x,y)在该区域均为调和函数．
5．下列结论不正确的是（ D ）．
1?为sin的可去奇点；(A) (B) ?为sinz的本性奇点；
z(C) ?为的孤立奇点; (D) ?为1的孤立奇点. 1sinzsinz1三．按要求完成下列各题（每小题10分，共计40分）
（1）设f(z)?x?axy?by?i(cx?dxy?y)是解析函数，求a,b,c,d.
2222（2）．计算
?Cezdz其中C是正向圆周：z?2； 2z(z?1)z15（3）计算?dz
z?3(1?z2)2(2?z4)3z(z2?1)(z?2)3(z?3)2（4）函数f(z)?在扩充复平面上有什么类型的奇3(sin?z)点？，如果有极点，请指出它的级. 四、（本题14分）将函数f(z)?1在以下区域展开成罗朗级数； 2z(z?1)（1）0?z?1?1，（2）0?z?1，（3）1?z??
五．（本题10分）用Laplace变换求解常微分方程定解问题
?y??(x)?5y?(x)?4y(x)?e?x??y(0)?y?(0)?1
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六、（本题6分）求
??f(t)?e??t(??0)的傅立叶变换，并由此证明：
cos?t???td??e22?2?0???三．按要求完成下列各题（每小题10分，共40分）
（1）．设f(z)?x?axy?by?i(cx?dxy?y)是解析函数，求
2222a,b,c,d.
解：因为f(z)解析，由C-R条件
?u?v?u?v??? ?x?y?y?x2x?ay?dx?2yax?2by??2cx?dy,
a?2,d?2,，a??2c,2b??d,c??1,b??1,
给出C-R条件6分，正确求导给2分，结果正确2分。
ezdz其中C是正向圆周： （2）．计算?C2(z?1)z解：本题可以用柯西公式\\柯西高阶导数公式计算也可用留数计算洛朗展开计算，仅给出用前者计算过程
ez因为函数f(z)?在复平面只有两个奇点z1?0,z2?1，分别以z1,z2为2(z?1)z圆心画互不相交互不包含的小圆
c1,c2且位于
ezdz??c?C2C1(z?1)zezez(z?1)2zdzdz?? C2(z?1)2z?2?i
z?0ezez?2?i()??2?izz?1(z?1)2无论采用那种方法给出公式至少给一半分，其他酌情给分。
z15（3）．?dz
z?3(1?z2)2(2?z4)3解：设f(z)在有限复平面所有奇点均在：z?3，由留数定理
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z15?z?3(1?z2)2(2?z4)3dz??2?iRes[f(z),?] -----（5分） 11?2?iRes[f()2] ----（8分）
zz1()15111z f()2?211zzz(1?2)2(2?()4)3zz111f()2?有唯一的孤立奇点z?0, zzz(1?z2)2(2z4?1)311111Res[f()2,0]?limzf()2?lim?1 2243zzzzz?0z?0(1?z)(2z?1)z15??dz?2?i --------（10分）
z?3(1?z2)2(2?z4)3z(z2?1)(z?2)32(z?3)（4）函数f(z)?在扩充复平面上有什么类型的奇
(sin?z)3点？，如果有极点，请指出它的级. 解
：
z(z2?1)(z?2)3(z?3)2f(z)?的奇点为z?k,k?0,?1,?2,?3,?，?3(sin?z)（1）z?k,k3?0,?1,?2,?3,?为（sin?z）?0的三级零点，
（2）z?0，z??1,为f(z)的二级极点，z??2是f(z)的可去奇点， （3）z（4）z?3为f(z)的一级极点，
?2,?3,?4?，为f(z)的三级极点；
（5）?为f(z)的非孤立奇点。
备注：给出全部奇点给5分 ，其他酌情给分。 四、（本题14分）将函数f(z)?1在以下区域展开成罗朗级数；
z2(z?1)（1）0?z?1?1，（2）0?z?1，（3）1?z??
解：（1）当0?z?1?1
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f(z)?111??[]? 2z(z?1)(z?1)(z?1?1)?1]??[?(?1)n(z?1)n]? 而[(z?1?1)n?0??(?1)nn(z?1)n?1
n?0?f(z)??(?1)n?1n(z?1)n?2 -------6分
n?0?（2）当0?z?1
111?f(z)?2??2=
z2z(z?1)z(1?z)?nz? n?0????zn?2 -------10分
n?0（3）当1?z??
f(z)?11?z2(z?1)z3(1?1)
z?1n1()??n?3 ------14分 ?n?0zn?0z?1f(z)?3z每步可以酌情给分。
五．（本题10分）用Laplace变换求解常微分方程定解问题：
?y??(x)?5y?(x)?4y(x)?e?x ??y(0)?1?y(0)?1?解：对y(x)的Laplace
变换记做L(s)，依据Laplace变换性质有
1 …（5分） s?1s2L(s)?s?1?5(sL(s)?1)?4L(s)?整理得
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《复变函数与积分变换》期末考试试卷A及答案
