“0”之刍议
——小学数学研修之随笔
朱真龙
在小学数学中，0是一个特殊的数，有关零的概念是：一个物体也没有，用0表示，0也是自然数，是最小的自然数。由于0的特殊性，也由于将0纳入自然数中来研究，这样在教学中出现了一些争议和困惑：
一、“0”在积、商变化规律中的一些争议。请看下面的题例： ? 一个因数扩大5倍，另一个因数扩大5倍，积扩大25倍。 ? 一个因数乘上5，另一个因数乘上5，积扩大25倍。 ? 被除数扩大5倍，除数缩小5倍，商扩大25倍。 ? 被除数乘上5，除数除以5，商扩大25倍。
观点一：以上四句话都是错误的。理由是：这四句话中的“数”的界限不明，如果考虑0的话，其结论是不正确的。例如第一句话，如果其中一个因数是0，那么积仍然是0，而不会扩大25倍。
观点二：以上四句话都是正确的。理由是：这四句话主要检查学生是否掌握积、商的变化规律，可以不考虑0，因而是正确的。
笔者认为，以上两种说法都有失偏颇。其中第一、三句应该是正确的，二、四句是错误的。我们来做一下具体的分析：
在第一、三句中，如果“因数”是0，就涉及到“0”能不能扩大或缩小的问题。我们说“把一个数扩大或缩小几倍”，应该是要使“这个数”发生变化，而对于0来说，无论将运用乘法还是除法之中，结果还是0，没有发生变化，因而0是不能扩大或缩小的，故在说到“一个数扩大或缩小”的时候，这个数自然就不会是0。因此，在不考虑0的情况下，这两句话是正确的；而在第二、四句中没有把0排除，把0考虑进去，这两句就是错误的。由以上分析可知，在积、商的变化规律的描述里，如果是说“一个数扩大或缩小”时“这个数”可以不考虑0，而在说“一个数乘上或除以”时“这个数”要考虑0。由此可得出下面的结论：
? “0×a或0÷b”只能是0乘a或0除以b，而不能是0扩大a倍或0缩小b倍。 ? 一个数乘1/a，积缩小a倍或不变。 ? 一个数除以1/a，商扩大a倍或不变。
二、“0”在数的整除里的一些争议。请看下面的题例：
? 所有自然数的公因数是“1”。 ? 相邻的两个自然数是互质数。
一般观点认为，以上两句话是错误的。理由是：自然数里包括“0“，考虑“0”的话，这句话是错误的。
笔者认为，判断以上两句话的正误，焦点在于提到的“自然数”考不考虑0，九义小数第十册指出：在研究因数和倍数时，我们所说的数不包括0，由此可知，以上两句话中的“自然数”可以不考虑0，因而是正确的。
换一个角度，让我们再来讨论一下考虑0的情况：考虑0了，就看“0”有没有因数。由整除的意义可知“0÷5=0”是一个整除式，根据因数和倍数的意义可知：5是0的因数，0是5的倍数。因而所有非0自然数都是0的因数，0 是所有非0自然数的倍数。因此，上面两句话就算考虑0也是正确的。而正是因为所有非0自然数都是0的因数，0 是所有非0自然数的倍数，这样在研究因数和倍数时，把0考虑进去就没有实际的意义，同时也和研究最小公倍数时及其他概念时冲突，所以教材才有上述规定。
三、“0”在分比应用中的一些争议。例：
?如果甲数的1/3等于乙数的3/5，那么甲数大于乙数。 ?如果甲×3等于乙数×5，那么甲数：乙数=5：3。 ?如果甲数：乙数=5：3，那么甲×3等于乙数×5。
在这三句中，就考不考虑“0”产生了争议。其中第1、2句中，就前面的条件“甲数的1/3等于乙数的3/5”和“甲×3等于乙数×5”中，都存在着甲、乙两数为“0”的可能，这样的话，就得不到后面的结论。第3句中，条件“甲数：乙数=5：3”成立，就意味着甲、乙两数不为“0”，因此结论“甲×3等于乙数×5”就是正确的。
数学是一门非常严密的科学，每一个概念或结论的得出都必须是准确的、具有严密的逻辑性的。而不能为了某些教学上的方便而随意地考虑或不考虑某个数。我们在做判断、推理和论证时，要根据基本概念的定义，正确做得出结论。小学数学是学生接触严密科学的起始阶段，数学各部分知识的内在联系具有很强的逻辑性，也是教育学生学会认真分析，严肃对待知识的起始阶段。这就要求教师在教给学生知识时必须注重知识的内在联系和数学学科所具有的严密的逻辑性。
0之刍议
