高等数学期末试卷
一、填空题（每题2分，共30分） 1．函数y?x2?4?1的定义域是 . x?1解. (??,?2]?[2,??) 。
2．若函数f(x?1)?x2?2x?5，则f(x)? 解. x2?6 3．limx?sinx?________________
x??x ．
答案：1
正确解法：limx?sinxsinxsinx?lim(1?)?lim1?lim?1?0?1
x??x??x??x??xxxx2?ax?b?2，则a?_____, b?_____。 4.已知lim2x?2x?x?2由所给极限存在知, 4?2a?b?0, 得b??2a?4, 又由
x2?ax?bx?a?2a?4lim2?lim??2, 知a?2,b??8 x?2x?x?2x?2x?13ex?b??，则a?_____, b?_____。 5.已知limx?0(x?a)(x?1)ex?b(x?a)(x?1)a?lim??, 即lim??0, ?a?0,b?1 x?0(x?a)(x?1)x?01?bex?b1??xsin6．函数f(x)??x??x?1x?0x?0的间断点是x? 。
解：由f(x)是分段函数，x?0是f(x)的分段点，考虑函数在x?0处的连续性。 因为 limxsinx?0?1?0lim?(x?1)?1f(0)?1 x?0x所以函数f(x)在x?0处是间断的，
又f(x)在(??,0)和(0,??)都是连续的，故函数f(x)的间断点是x?0。
7. 设y?x?x?1??x?2?????x?n?, 则y?n?1??(n?1)! 8．f(x)?x2，则f(f?(x)?1)?__________。 答案：(2x?1)2或4x2?4x?1
4x?y29．函数z?的定义域为 。
ln(1?x2?y2)解：函数z的定义域为满足下列不等式的点集。
?z
的定义域为：?(x,y)|0?x2?y2?1且y2?4x}
10．已知f(x?y,x?y)?x2y?xy2,则f(x,y)? . 解 令x?y?u，x?y?v，则x?f(u,v)?u?vu?v,y?22，f(x?y)(x?y)?xy(x?y)
u?vu?vuu2x?(u?v2)，f(x,y)?(x2?y2)
42224xx2?y211．设f(x,y)?xy?,则fx?(0,1)? 。fy?(0,1)? ∵ f(0,1)?0?0?0
fy?(0,1)?lim?y?0f(0,?y?1)?f(0,1)0?0?lim?0。 ?y?0?y?y12． 设z?x2?siny,x?cost,y?t3,则
dz＝?? 。 dt解 13.
dz??2xsint?3t2cosy dtdddf(x)dx? . dx??d解：由导数与积分互为逆运算得，?d?df(x)dx?f(x).
dx14.设f(x)是连续函数，且? x3?1 0f(t)dt?x，则f(7)? . 13x2?x?2解：两边对x求导得3x2f(x3?1)?1，令x3?1?7，得x?2，所以f(7)?1，则k?_________。
02??11b答案：∵??e?kxdx?lim??e?kxd(?kx)
0b???2k01. 1215．若?e?kxdx???∴k?2
二、单项选择题（每题2分，共30分）
ax?11．函数f(x)?xx(a?0,a?1)（ ）
a?1 A.是奇函数； B. 是偶函数；
C.既奇函数又是偶函数； D.是非奇非偶函数。 解：利用奇偶函数的定义进行验证。 所以B正确。 2．若函数f(x?)?x2?1x1，则f(x)?（ ） 2x A.x2； B. x2?2； C.(x?1)2； D. x2?1。 解：因为x2?11121122，所以?x?2??2?(x?)?2f(x?)?(x?)?2 xxxx2x2则f(x)?x2?2，故选项B正确。 3．设f(x)?x?1 ，则f(f(x)?1)=（ ）．
A． x B．x + 1 C．x + 2 D．x + 3 解 由于f(x)?x?1，得 f(f(x)?1)?(f(x)?1)?1＝f(x)?2 将f(x)?x?1代入，得f(f(x)?1)=(x?1)?2?x?3 正确答案：D
x2?ax?b)?0，其中a,b是常数，则（ ） 4．已知lim(x??x?1(A) a?1,b?1, (B) a??1,b?1 (C) a?1,b??1 (D) a??1,b??1
?x21?a?x2??a?b?x?b?ax?b)?lim?0, 解. ?lim(x??x?1x??x?1?1?a?0,a?b?0,?a?1,b??1 答案：C
5．下列函数在指定的变化过程中，（ ）是无穷小量。
A.e,(x??)； B.
1xsinx,(x??)； xx?1?1,(x?0)x
C. ln(1?x),(x?1)； D.
解：无穷小量乘以有界变量仍为无穷小量，所以 而A, C, D三个选项中的极限都不为0，故选项B正确。
6．下列函数中，在给定趋势下是无界变量且为无穷大的函数是（ ）
(A)y?xsin(x??); (B)y?n??1?(n??);
n1x(C)y?lnx(x??0)； (D)y?cos(x?0) 解. ?limxsin?limsinx??x??1x1x1x1x1?1, 故不选(A). 取m?2k?1, 则x1n??n??limn??1??limn1?0, 故不选(B). 取xn?k??2k?1?2, 则limn??11cos?0, 故不选xnxn(D). 答案：C
1??xsin,x?07．设f(x)??，则f(x)在x?0处（ x??x,x?0）
A．连续且可导
B．连续但不可导 D．既不连续又不可导
C．不连续但可导 解：（B）
x?0lim?f(x)?lim?x?0，lim?f(x)?lim?xsinx?0x?0x?01?0，f(0)?0 x因此f(x)在x?0处连续
f(x)?f(0)?lim?x?0x?0xsin1?01x?lim?sin，此极限不存在 x?0x?0xf??(0)?lim?x?0从而f??(0)不存在，故f?(0)不存在
8．曲线y?x3?x在点（1，0）处的切线是（ ）．
A． y?2x?2 C． y?2x?2
B． y??2x?2
D． y??2x?2
解 由导数的定义和它的几何意义可知，
是曲线y?x3?x在点（1，0）处的切线斜率，故切线方程是 正确答案：A 9．已知y?14． x，则y??=（ ）
4y?0?2(x?1)，即y?2x?2
A. x3 B. 3x2 C. 6x D. 6 解 直接利用导数的公式计算：
y??(x4)??x3, y???(x3)??3x2
14正确答案：B
10．若f()?x，则f?(x)?（ ）。 A． B．
1x111 C． D． ??22xxx1x答案：D 先求出f(x)，再求其导数。
22z?lnx?y11．的定义域为（ ）．
22222222x?y?1x?y?0x?y?1x?y?0 A．?????B．C．?????? D．
解 z的定义域为?(x,y)x2?y2?0}个，选D。
12.设函数项级数?un(x)，下列结论中正确的是( ).
n?1?（A）若函数列?un(x)?定义在区间I上，则区间I为此级数的收敛区间 （B）若S(x)为此级数的和函数，则余项rn(x)?S(x)?Sn(x)，limrn(x)?0
n??
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