2008级综合大题
?400??1?&??0?21?x??1?ux????
???00?1???0??y??112?x1 能否通过状态反馈设计将系统特征值配置到平面任意位置？ 2 控规范分解求上述方程的不可简约形式？ 3 求方程的传递函数；
4 验证系统是否渐近稳定、BIBO稳定、李氏稳定；（各种稳定之间的关系和判定方法！）
5 可能通过状态反馈将不可简约方程特征值配置到-2，-3？若能，确定K，若不能，请说明理由；
6 能否为系统不可简约方程设计全阶状态观测器，使其特征值为-4，-5； 7画出不可简约方程带有状态观测器的状态反馈系统结构图。
参考解答： 1.
判断能控性：能控矩阵M???B可控，不能任意配置极点。 2
按可控规范型分解
AB?1416??1?24?,rank(M)?2.系统不完全
A2B???????000???12?0?33?140????11???1? ?0取M的前两列，并加1与其线性无关列构成P?1?20，求得P?????6?6?????001?001??????2??08?3??1???1???1?1进行变换A?PAP?12??,B?PB?0,c?cP??222????6?????0??001??????
??08??1?&x?x???12??0?u
所以系统不可简约实现为??????y??22?x?
3.
G(s)?c(sI?A)?1B? 4.
2(s?1)(s?1)2(s?1)?
(s?4)(s?2)(s?1)(s?4)(s?2) det(sI?A)?(s?4)(s?2)(s?1)，系统有一极点4，位于复平面的右部，故不是渐近稳定。
G(s)?c(sI?A)?1B?2(s?1)，极点为4，-2，存在位于右半平面的极点，故系统不
(s?4)(s?2)是BIBO稳定。
系统发散，不是李氏稳定。 5.
?k1??k18?k2?可以。令k???,A?Bk???
k12???2?则特征方程f(s)?det?sI?(A?Bk)??s?(k1?2)s?2k1?8?k2
2T期望特征方程f(s)?(s?2)(s?3)?s?5s?6
*2??7?比较上两式求得：k???
?28??
6.
可以。设L???，则A?LC??T?l1??l2???2l1?1?2l28?2l1? ?2?2l2?2特征方程f(s)?s?(2l2?2?2l1)s?16l2?2l1?8
期望特征方程f(s)?(s?4)(s?5)?s?9s?20
*2?10??3?比较得：L???
?13???6???20??3则：A?LC????10??34?3?? 7??3???20??3&??观测器方程为：x??10??3
7. 框图
4??10??3??1?3??x???u???y 7??0??13???3???6??
2007级线性系统理论 试题及答案 一、 简述：
1． 线性性质：一个系统对任何输入u1和u2及任何实数?1和?2，均有
H??1u1??2u2???1H?u1???2H?u2?，称其为线性的。
2． 松弛性：t0时刻松弛:输出y?t0,??唯一地由u?t0,??所激励时，称系统在t0时刻松弛。
3． 时不变：一个系统的特性不随时间而变化。 4． 串联系统：系统只有1个输入，第一个子系统输出作为第二个子系统的输入，
第二个子系统的输出作为总的输出。
&5． 状态转移矩阵：令??t?是x对???,??中的t，t0称?A?t?x的任一基本矩阵，
&?A?t?x的状态转移矩阵。 ??t,t0????t???1?t0?是x?10??1?&??二、x?x???u y?[12]x ?02??1?1．验证能控、能观；
2．是否稳定、渐近稳定，分别为什么；
3．假设初始状态未知，能否找到一个u?0,???使y?e；
?0??1t?04．x?0????，求y?t?的单位阶跃响应，u?t???；
?0??0t?05．能否配置状态反馈使??2,?3?是新的极点？若能，找出K，若不能，说明理由； 6．设计全维观测器，使极点为??4,?5?，画出结构图。 解：1．rank?B?11?AB??rank??2，可控， ??12??C??12?rank???rank???2,可观； CA14????2．系统为线性时不变的，故 稳定性与渐近稳定性等价。
令det?sI?A??0，即?s?1??s?2??0，所以特征值为s1?1、s2?2，不稳定，
t亦不渐近稳定；
At??3．y?t??CeAtx?0???Ce??Bud?
0
?et??12?????x10?t?et???????12??e2t??x20??0???1????ud? e2(t??)??1??etx10?e2tx20??et?e2t?2?u
令y?t??e，由于x10，x20未知，u无解，找不到；
?et?e2t?2t?04．由3得：y?e?0?e?0??e?e?2?u?0???
0t?0?t2tt2tk2??1?k15．设K??k1k2?，A?BK??? k2?k?12??s?1?k1令det??sI??A?BK????s?5s?6?det??k?12?k2?
s?2?k2??解得：k1?12，k2??20， 因此K??12?20?
?2l1??1?lT6． 设L??l1l2?,A?LC??1 ???l22?2l2??s?1?l12令det?sI?A?LC?s?9s?20?det????l???2解得：l1??30，l2?21，因此L???3021?. （结构图 略）
三、
确定参数a、b的范围，使系统能控能观：
T2l1?
s?2?2l2????11a??0?&??0?21?x??0?u y??001?x 1．x???????00?3???1???001??0?&??010?x??1?u y??01b?x 2．x????????111???a????a?7?4??x &??00?13．使李氏稳定，x???00??1?解：1．U???BAB?0a1?4a??01? ，令rankU?3，得a??1 A2B???5????9??1?3?
?C??001????00?3?,rankV?2，无解， V??CAa????22???CA????CA?所以 找不到合适的a的范围使系统能控能观；
ABa1?a??0?1?，令rankU?3，得a?1 A2B??11?????a1?a2?a??2．U???B
1b??C??0????b1?bb?，令detV?b2?b3?0，得b?0且b??1 V??CA????2??CA?????b1?2b0??所以，当a?1，b?0且b??1时，系统可控可观； 3．det?sI?A??s3?as2?4s?7 ?a0s3?a1s2?a2s?a3? 要让det?sI?A?根小于0，有两种做法：
线性系统理论多年考题和答案
