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恒成立与有解问题
典例分析
【例1】 关于x的不等式x?1?x?2≤a2?a?1的解集为空集,则实数a的取值范围是
_ .
【例2】 若不等式x?1≥a?2?1对一切非零实数x均成立,则实数a的最大值是x_________.
?2?【例3】 设函数f(x)?x2?1,对任意x??,???,f?3??x?2???4mf(x)≤f(x?1)?4f(m)恒?m?成立,则实数m的取值范围是 .
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【例4】 若不等式ax2?x?2?0的解集为R,则a的范围是( )
11A.a?0 B.a?? C.a? D.a?0
88
【例5】 已知不等式
11112??L??loga?a?1??对于一切大于1的自然数nn?1n?22n123都成立,试求实数a的取值范围.
【例6】 若不等式(a?2)x2?2(a?2)x?4?0对x?R恒成立,则a的取值范围是______.
【例7】 f(x)?ax2?ax?1在R上恒满足f(x)?0,则a的取值范围是( )
A.a≤0 B.a??4
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C.?4?a?0 D.?4?a≤0
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【例8】 若对于x?R,不等式mx2?2mx?3?0恒成立,求实数m的取值范围.
?1?【例9】 不等式x2?ax?1≥0对一切x??0,?成立,则a的最小值为( )
?2?5A.0 B.?2 C.? D.?3
2
【例10】 不等式|x?3|?|x?1|≤a2?3a对任意实数x恒成立,则实数a的取值范围为
( )
A.???,?1?U?4,???
C.[1,2]
B.???,?2?U?5,??? 1?U?2,?? D.???,
【例11】 对任意a?[?1,函数f(x)?x2?(a?4)x?4?2a的值恒大于零,则x的取值范1],
围为 .
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【例12】 若不等式
【例13】 若x????,?1?,1?3x??a?a2?9x?0恒成立,求实数a的取值范围.
【例14】 设f?x??x2?2ax?2,当x???1,???时,都有f?x?≥a恒成立,求a的取值
lg2ax?1在x?[1,2]时恒成立,试求a的取值范围.
lg(a?x)范围.
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【例15】 设对所有实数x,不等式xlog224?a?1?a?a?1?2a?2xlog2?log2?0恒成立,
a?14a22求a的取值范围.
【例16】 已知不等式ax2?4x?1≥?2x2?a对任意实数恒成立,求实数a的取值范围.
【例17】 已知关于x的不等式x2?x?t?0对x?R恒成立,则t的取值范围是 .
【例18】 如果|x?1|?|x?9|?a对任意实数x恒成立,则a的取值范围是( )
A.{a|a?8} B.{a|a?8} C.{a|a≥8} D.{a|a≤8}
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