以△SAB为直角三角形，SB＝29，所以SA＝29－17＝23，因为SA⊥平面ABC，所以SA111239
为棱锥的高，所以VS-ABC＝××AC×BC×SA＝×2×13×23＝.
3263
18．(12分)求经过直线x＋y＝0与圆x＋y＋2x－4y－8＝0的交点，且经过点P(－1，－2)的圆的方程．
解析：解方程组?
?x＋y＝0，?
2
2
2
2
??x＋y＋2x－4y－8＝0，
得x＝1，y＝－1或x＝－4，y＝4，
即直线与圆交于点A(1，－1)和点B(－4,4)．
设所求圆的方程为x＋y＋Dx＋Ey＋F＝0，分别将A，B，P的坐标代入， 1＋1＋D－E＋F＝0，??
得方程组?16＋16－4D＋4E＋F＝0，
??1＋4－D－2E＋F＝0，D＝3，??
解得?E＝－3，
??F＝－8，
2
2
2
所求圆的方程为x＋y＋3x－3y－8＝0.
19．(12分)已知圆的方程为x＋y＝8，圆内有一点P(－1,2)，AB为过点P且倾斜角为α的弦．
(1)当α＝135°时，求AB的长；
(2)当弦AB被点P平分时，写出直线AB的方程． 解析：有两种方法． (1)方法一 (几何法)
2
2
2
如图所示，过点O作OC⊥AB.
由已知条件得直线AB的斜率为k＝tan135°＝－1， 所以直线AB的方程为y－2＝－(x＋1)， 即x＋y－1＝0.
因为圆心为(0,0)，所以|OC|＝30， 2
|－1|2＝
2
.因为r＝22，所以|BC|＝2
8－?
?2?2
?＝?2?
- 6 -
所以|AB|＝2|BC|＝30. 方法二 (代数法)
当α＝135°时，直线AB的方程为y－2＝－(x＋1)， 即y＝－x＋1，代入x＋y＝8，得2x－2x－7＝0. 72
所以x1＋x2＝1，x1x2＝－，所以|AB|＝1＋k|x1－x2|
2＝
1＋1[x1＋x2
22
2
2
－4x1x2]
＝30.
(2)如图，当弦AB被点P平分时， OP⊥AB，
1
因为kOP＝－2，所以kAB＝，
2所以直线AB的方程为y－2＝ 1
(x＋1)，即x－2y＋5＝0. 2
20．(12分)如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于低面ABCD，AB＝1
BC＝AD，∠BAD＝∠ABC＝90°.
2
(1)证明：直线BC∥平面PAD；
(2)若△PCD的面积为27，求四棱锥P-ABCD的体积．
解析：(1)证明：在平面ABCD内，因为∠BAD＝∠ABC＝90°，所以BC∥AD，又BC?平面PAD，AD?平面PAD，故BC∥平面PAD.
1
(2)取AD的中点M，连接PM，CM，由AB＝BC＝AD及BC∥AD，∠ABC＝90°，得四边形
2ABCM为正方形，则CM⊥AD，因为侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以PM⊥AD，PM⊥平面ABCD，因为CM?平面ABCD，所以PM⊥CM，设BC＝x，则CM＝x，CD＝2x，PM＝3x，PC＝PD＝2x，取CD中点N，连接PN，则PN⊥CD，所以PN＝
142
- 7 -
114
x，因为△PCD的面积为27，所以×2x×x＝27，解得x＝－2(舍去)，x＝2，于是
2212×2＋4
AB＝BC＝2，AD＝4，PM＝23，所以四棱锥P-ABCD的体积V＝××23＝43.
32
21．(12分)[2019·上饶县校级月考]已知圆C1：x＋y－6x－6＝0，圆C2：x＋y－4y－6＝0
(1)试判断两圆的位置关系； (2)求公共弦所在的直线的方程； (3)求公共弦的长度．
解析：(1)圆C1：x＋y－6x－6＝0，化为(x－3)＋y＝15，圆心坐标为(3,0)，半径为15；圆C2：x＋y－4y－6＝0化为x＋(y－2)＝10，圆心坐标(0,2)，半径为 10.圆心距为：3＋2＝13，因为15 －10 ＜13 ＜15 ＋10 ，所以两圆相交．
(2)将两圆的方程相减，得－6x＋4y＝0，化简得：3x－2y＝0， ∴公共弦所在直线的方程是3x－2y＝0；
(3)由(2)知圆C1的圆心(3,0)到直线3x－2y＝0的距离d＝
8121 482
15－＝.
1313
99＋4
＝
913
，由此可得，公
2
2
2
2
2
2
2
2
2
22
2
2
2
共弦的长l＝2
22．(12分)[2019·大连高一检测]如图已知直三棱柱ABC-A1B1C1(侧棱垂直于底面)中，D，E分别是AB，BB1的中点．
(1)证明：BC1∥平面A1CD；
(2)设AA1＝AC＝CB＝2，AB＝22，求二面角A1-EC-C1的正弦值．
解析：(1)证明：连接AC1交A1C于点F，则F为AC1的中点，又D是AB中点，连接DF，则BC1∥DF，因为DF?平面A1CD，BC1?平面A1CD，所以BC1∥平面A1CD.
(2)连接A1E，C1E，过C1作C1G⊥EC，垂足为G，连接A1G，
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由题意知，AB＝AC＋BC，所以AC⊥BC，又由直三棱柱得AC⊥平面BB1C1C，所以A1C1⊥平面BB1C1C，所以∠A1GC1为二面角A1-EC-C1的平面角，在△CEC1中，CE＝C1E＝5，CC1＝2，1144
利用等面积法可知CE·C1G＝×2×2，所以C1G＝，在Rt△A1GC1中，A1C1＝2，C1G＝，
2255所以A1G＝
2＋?
2
2
2
2
A1C125?4?26
所以sin∠A1GC1＝＝＝，所以二面角A1-EC－C1的正弦?＝，
A1G63?5?5
5
值为
5
. 3
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2019 - 2020学年高中数学模块质量检测（含解析）新人教A版必修2
