模块质量检测
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是( )
A．圆柱 B．圆锥
C．球体 D．圆柱、圆锥、球体的组合体
解析：当用过高线的平面截圆柱和圆锥时，截面分别为矩形和三角形，只有球满足任意截面都是圆面．
答案：C
2．已知直线x－3y－2＝0，则该直线的倾斜角为( )
A．30° B．60° C．120° D．150°
解析：直线x－3y－2＝0的斜率k＝答案：A
3．点P(2，m)到直线l：5x－12y＋6＝0的距离为4，则m的值为( )
3
，故倾斜角为30°，故选A. 3
A．1 B．－3 C．1或 D．－3或
解析：利用点到直线的距离公式． 答案：D
4．圆(x＋2)＋y＝4与圆(x－2)＋(y－1)＝9的位置关系为( )
2
2
2
2
53173
A．内切 B．相交 C．外切 D．相离
解析：两圆的圆心分别为(－2,0)，(2,1)，半径分别为r＝2，R＝3两圆的圆心距离为－2－2
2
＋0－1
2
＝17，则R－r<17 答案：B 5．在空间给出下面四个命题(其中m，n为不同的两条直线，α，β为不同的两个平面)： ①m⊥α，n∥α?m⊥n ②m∥n，n∥α?m∥α ③m∥n，n⊥β，m∥α?α⊥β ④m∩n＝A，m∥α，m∥β，n∥α，n∥β?α∥β. 其中正确的命题个数有( ) A．1个 B．2个 - 1 - C．3个 D．4个 解析：②中m也可能在平面α内，②错，①③④正确，故选C. 答案：C 6．点P在正方形ABCD所在平面外，PD⊥平面ABCD，PD＝AD，则PA与BD所成角的度数为( ) A．30° B．45° C．60° D．90° 解析：利用正方体求解，如图所示： PA与BD所成的角，即为PA与PQ所成的角，因为△APQ为等边三角形，所以∠APQ＝60°，故PA与BD所成角为60°，故选C. 答案：C 7．若直线(1＋a)x＋y＋1＝0与圆x＋y－2x＝0相切，则a的值为( ) 2 2 A．1或－1 B．2或－2 C．1 D．－1 解析：圆x＋y－2x＝0的圆心(1,0)，半径为1，依题意得2|＝ a＋1 22 2 |1＋a＋0＋1| 1＋a 2 ＝1，即|a＋ ＋1 ＋1， 平方整理得a＝－1，故选D. 答案：D 8．已知三点A(－1,0,1)，B(2,4,3)，C(5,8,5)，则( ) A．三点构成等腰三角形 B．三点构成直角三角形 C．三点构成等腰直角三角形 D．三点构不成三角形 解析：∵|AB|＝29，|AC|＝229，|BC|＝29，而|AB|＋|BC|＝|AC|，∴三点A，B，C共线，构不成三角形． 答案：D 9．已知圆(x－2)＋(y＋1)＝16的一条直径通过直线x－2y＋3＝0被圆所截弦的中点，则该直径所在的直线方程为( ) 2 2 A．3x＋y－5＝0 B．x－2y＝0 C．x－2y＋4＝0 D．2x＋y－3＝0 - 2 - 1 解析：直线x－2y＋3＝0的斜率为，已知圆的圆心坐标为(2，－1)，该直径所在直线 2的斜率为－2，所以该直径所在的直线方程为y＋1＝－2(x－2)，即2x＋y－3＝0，故选D. 答案：D 10．在四面体A－BCD中，棱AB，AC，AD两两互相垂直，则顶点A在底面BCD上的投影H为△BCD的( ) A．垂心 B．重心 C．外心 D．内心 解析：因为AB⊥AC，AB⊥AD，AC∩AD＝A， 因为AB⊥平面ACD，所以AB⊥CD. 因为AH⊥平面BCD， 所以AH⊥CD，AB∩AH＝A， 所以CD⊥平面ABH，所以CD⊥BH. 同理可证CH⊥BD，DH⊥BC， 则H是△BCD的垂心．故选A. 答案：A 11．若过点A(4,0)的直线l与曲线(x－2)＋y＝1有公共点，则直线l的斜率的取值范围为( ) 2 2 A．[－3，3] B．(－3，3) C.?－??33?33?? ，? D.?－，? 33?3??3 解析：设直线方程为y＝k(x－4)，即kx－y－4k＝0， 因为直线l与曲线(x－2)＋y＝1有公共点， 所以圆心到直线的距离d小于或等于半径， |2k－4k|33∴d＝≤1，解得－≤k≤. 233k＋1答案：C 12．设A，B，C，D是一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且其面积为93，则三棱锥D－ABC体积的最大值为( ) 2 2 A．123 B．183 C．243 D．543 解析：由于△ABC为等边三角形且面积为93，故当三棱锥D－ABC体积最大时，点D到平面ABC的距离最大．设等边△ABC的边长为a，则 322 a＝93，得a＝36，解得a＝6. 4 - 3 - 设△ABC的中心为点E，连接AE，BE，CE，由正三角形的性质得AE＝BE＝CE＝23， 设球心为点O，连接OA，OB，OC，OE，OD，则OA＝OB＝OC＝4，则OE＝4－23 2 2 ＝ 1 2，故D到平面ABC的距离的最大值为OE＋OD＝2＋4＝6，则(VD－ABC)max＝93×6×＝183. 3 答案：B 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．如图所示，Rt△A′B′C′为水平放置的△ABC的直观图，其中A′C′⊥B′C′，B′O′＝O′C′＝1，则△ABC的面积为________． 解析：由直观图画法规则将△A′B′C′还原为△ABC，如图所示，则有BO＝OC＝1，AO11 ＝22.故S△ABC＝BC·AO＝×2×22＝22. 22 答案：22 14．已知点P(0，－1)，点Q在直线x－y＋1＝0上，若直线PQ垂直于直线x＋2y－5＝0，则点Q的坐标是________． 解析：设Q(x0，y0)，因为点Q在直线x－y＋1＝0上，所以x0－y0＋1＝0① 1y0＋1 又直线x＋2y－5＝0的斜率k＝－，直线PQ的斜率kPQ＝， 2x0所以由直线PQ垂直于直线x＋2y－5＝0， - 4 - y0＋1?1?得·?－?＝－1② x0?2? 由①②解得x0＝2，y0＝3，即点Q的坐标是(2,3)． 答案：(2,3) 15．若直线y＝ax＋b通过第一、二、四象限，则圆(x＋a)＋(y＋b)＝1的圆心位于第________象限． 解析：(－a，－b)为圆的圆心，由直线经过一、二、四象限，得到a<0，b>0，即－a>0，－b<0，故圆心位于第四象限． 答案：四 2 2 16．如图所示，半径为R的半圆内的阴影部分以直径AB所在直线为轴，旋转一周得到一几何体，∠BAC＝30°，则此几何体的体积为________． 43 解析：半圆旋转一周形成一个球体，其体积V球＝πR，内部两个圆锥的体积之和为V 3 锥 11π34π353?3?223 ＝πCD·AB＝π·?R?·2R＝R，所以所求几何体的体积为πR－R＝πR. 332326?2? 63 答案：πR 5 三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演 算步骤) 17．(10分)[2024·广州高一检测]三棱锥S－ABC中，SA⊥AB，SA⊥AC，AC⊥BC且AC＝2，BC＝13，SB＝29. (1)证明：SC⊥BC. (2)求三棱锥的体积VS－ABC. 解析：(1)证明：因为SA⊥AB，SA⊥AC，AB∩AC＝A，所以SA⊥平面ABC，所以AC为SC在平面ABC内的射影，又因为BC⊥AC，所以SC⊥BC. (2)在△ABC中，AC⊥BC，AC＝2，BC＝13，所以AB＝4＋13＝17，因为SA⊥AB，所 - 5 -
2024 - 2024学年高中数学模块质量检测（含解析）新人教A版必修2
