圆锥曲线问题解题方法分析

由天下分享时间：2025/1/28 15:49:55 加入收藏我要投稿点赞

圆锥曲线问题解题方法分析

谢晓蕾

【摘要】[摘要]圆锥曲线是高考必考内容.其中圆锥曲线的最值问题也是常考的内容.主要是对数形结合、分类讨论、转化及化归的数学思想进行考查.本文就对其解题方法进行分析. 【期刊名称】中学教学参考【年(卷),期】2017(000)029 【总页数】1

【关键词】[关键词]圆锥曲线；椭圆问题；解题方法

圆锥曲线是高考的常考内容.圆锥曲线问题的解题过程主要是从小处着手，从大处着眼，从整体对题目中所提供的综合信息及问题处理的数学思想进行准确的把握.如分类讨论思想、化归思想、数形结合思想.通过圆锥曲线定义及平面几何结论，将圆锥曲线最值转化为二次函数最值问题或三次函数的最值问题等，利用均值不等式、函数单调性等进行求解.

一、定义法

在圆锥曲线的解题过程中，首先根据圆锥曲线定义及性质，列出函数关系式，用代数法及几何法求解.

【例1】椭圆方程为+=1(a>b>0)，其中A是椭圆短轴的左顶点，过A的斜率为-1的直线与椭圆相交，交点为B，P(1，0)，BP//y，三角形APB面积为9/2.首先求椭圆方程，其次在直线AB上求点M，并将M作为椭圆焦点，过M的双曲线E实轴最长，求双曲线方程.

简解：(1)S△APB=AP·PB=，又∠PAB=45°，

AP=PB,故AP=BP=3. ∵P(1,0),A(-2,0),B(1,-3). ∴b=2，将B(1,-3)代入椭圆得得a2=12，所求椭圆方程为+=1.

(2)设椭圆焦点为F1、F2，可知F1(0，-2)，F2(0，2)，直线方程为x+y+2=0，由于M在双曲线上，双曲线实轴最大，则只需|MF1|-|MF2|最大，设F1(0,-2)关于直线AB的对称点为则直线与直线的交点为所求M，因为的方程为：y+(3+2)x-2=0，联立得M(1,-3). 又

==2，则amax=，b′=,故所求双曲线方程为-=1.

在该题目中主要是用椭圆第一定义进行数量关系的转换，采用化归的数学思想在几何中求出最大值或最小值，并利用三角形理论中的“两边之和大于第三边”“两边之差小于第三边”等.

二、函数法

把椭圆和双曲线的参数方程转化成三角函数，直线的参数方程转化成函数问题进行求解.

【例2】椭圆方程+=1的切线和两个坐标轴分别相交于A、B两点，求三角形OAB面积的最小值.

解析：首先已知椭圆的参数方程为切点P(acosβ,asinβ)，可得切线方程. 解：设切点为P(acosβ,asinβ)，切线方程则为x+y=1.令y=0，切线和x轴的交点为A(,0)；令x=0，则切线与y轴交点为B(0,).